Question

【題目】如圖，在等腰△ABC中，AC=BC，∠ACB=4∠B，點D是AC邊的中點，DE⊥AC，交AB于點E，連接CE．

（1）求∠BCE的度數；

（2）求證：AB=3CE．

Answer 1

【答案】（1）90°；（2）證明見解析．

【解析】

（1）證明△ECD≌△EAD，可得∠A=∠ECD，設∠B=x，可得∠BEC=2x，得出x+2x+3x=180°，解得x=30°，則∠BCE可求出；
（2）由直角三角形的性質可得BE=2CE，AE=CE，則結論可得出．

解:（1）∵點D是AC邊的中點，DE⊥AC，

∴∠EDC=∠EDA=90°，DC=DA．

∵ED=ED，

∴△ECD≌△EAD（SAS），

∴∠A=∠ECD，

∵AC=BC，

∴∠B=∠A．

設∠B=x，

∴∠BEC=∠A+∠ECA=2x．

∵∠ACB=4∠B，

∴∠BCE=3x．

∵∠B+∠BEC+∠BCE=180°，

∴x+2x+3x=180°，

解得：x=30°，

∴∠BCE=90°；

（2）∵∠B=30°，∠BCE=90°，

∴BE=2CE．

∵CE=AE，

∴AB=BE+AE=3CE．