Question

如圖，拋物線y=-

4

9

x2-

4

9

mx+

8

9

m2（m＞0）與x軸相交于A，B兩點，點H是拋物線的頂點，以AB為直徑作圓G交y軸于E，F兩點，EF=4

2

．
（1）用含m的代數式表示圓G的半徑r_G的長；
（2）連接AH，求線段AH的長；
（3）點P是拋物線對稱軸正半軸上的一點，且滿足以P點為圓心的圓P與直線AH和圓G都相切，求點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）當y=0時，求出x的值就是點A、點B的橫坐標，就可以求出AB的長度，就是⊙G的直徑，從而可以表示出它的半徑．
（2）由第一問的半徑就可以求出G的坐標，從而求出GO的長度，由EF=4

2

．由垂徑定理求出OE的長度，連接GE，由勾股定理建立等量關系求出m的值，從而求出H的坐標，求出GH的長度，從而由勾股定理求出AH的長度．
（3）可以設出P點的坐標為（-1，k），運用三角函數值表示出⊙P的半徑，從外切于內切兩種不同的情況求出點P的坐標．

解答：解：（1）當y=0時，
-

4

9

x²-

4

9

mx+

8

9

m²=0，
∴x²+mx-2m²=0，
解得：x₁=-2m，x₂=m．
∵m＞0，
∴A（-2m，0），B（m，0），
∴AB=3m，
∴⊙G的半徑為

3

2

m；

（2）∵⊙G的半徑為

3

2

m，
∴G（-

m

2

，0）．
∵x軸⊥EF，AB是直徑，且EF=4

2

，
∴EO=

EF

2

=2

2

，連接GE，在Rt△GEO中，由勾股定理，得
(

3m

2

)2 = (

1

2

m)2+(2

2

)2，
解得：m=±2．
∵m＞0，
∴m=2，
∴y=-

4

9

x²-

8

9

x+

32

9

，⊙G的半徑=3，
∴y=-

4

9

（x+1）²+4．
∴H（-1，4），
∴GH=4，
∵AG=3，由勾股定理，得
AH=5；

（3）設⊙P的半徑為r，P點的坐標為（-1，k）．
由題意可知，當k＞4，不符合題意，所以0＜k＜4．
∵⊙P與直線AH相切，過點P作PM⊥AH于點M，
∴PM=r，HP=4-k，r=HPsin∠AHG=

3(4-k)

5

．
①當⊙P與⊙G內切時，
∴3-r=k，
∴3-

3(4-k)

5

=k，解得k=

3

2

，
∴P（-1，

3

2

）．

②當⊙P與⊙G外切，
∴3+r=k，
∴3+

3(4-k)

5

=k，解得：k=

27

8

．
所以滿足條件的P點有：P（-1，

3

2

），P（-1，

27

8

）．

點評：本題是一道二次函數的綜合試題，考查了圓的半徑，垂徑定理的運用，勾股定理的運用，圓與圓相切直線與圓相切的性質．