Question

圖1至圖7中的網格圖均是20×20的等距網格圖（每個小方格的邊長均為1個單位長）．偵察兵王凱在P點觀察區域MNCD內的活動情況．當5個單位長的列車（圖中的）以每秒1個單位長的速度在鐵路線MN上通過時，列車將阻擋王凱的部分視線，在區域MNCD內形成盲區（不考慮列車的寬度和車廂間的縫隙）．設列車車頭運行到M點的時刻為0，列車從M點向N點方向運行的時間為t（秒）．
（1）在區域MNCD內，請你針對圖1，圖2，圖3，圖4中列車位于不同位置的情形分別畫出相應的盲區，并在盲區內涂上陰影．
（2）只考慮在區域ABCD內開成的盲區．設在這個區域內的盲區面積是y（平方單位）．
①如圖5，當5≤t≤10時，請你求出用t表示y的函數關系式；
②如圖6，當10≤t≤15時，請你求出用t表示y的函數關系式；
③如圖7，當15≤t≤20時，請你求出用t表示y的函數關系式；
④根據①～③中得到的結論，請你簡單概括y隨t的變化而變化的情況．
（3）根據上述研究過程，請你按不同的時段，就列車行駛過程中在區域MNCD內所形成盲區的面積大小的變化情況提出一個綜合的猜想（問題（3）是額外加分，加分幅度為1～4分）．

Answer 1

【答案】分析：（1）在P視點看不見的列車后的區域就是盲區，也就是過P和列車的兩端的射線交CD于兩點，這兩點和列車兩端構成的梯形就是所指的盲區．如圖1的梯形AA₁D₁D，圖2的梯形A₂B₂C₂D₂，圖3的梯形B₃BCC₃．
（2）①②③中根據t的不同的取值范圍對應的不同的圖形，然后根據梯形的面積公式表示出y與t的關系式，得出關系式后根據函數的性質來確定④中y的取值
（3）同（2）④．
解答：解：（1）在P視點看不見的列車后的區域就是盲區，也就是過P和列車的兩端的射線交CD于兩點，這兩點和列車兩端構成的梯形就是所指的盲區．如圖1的梯形AA₁D₁D，圖2的梯形A₂B₂C₂D₂，圖3的梯形B₃BCC₃．
（2）①如圖1，當5≤t≤10時，盲區是梯形AA₁D₁D
∵O是PQ中點，且OA∥QD，
∴A₁，A分別是PD₁和PD中點
∴A₁A是△PD1D的中位線．
又∵A₁A=t-5，∴D₁D=2（t-5）
而梯形AA₁D₁D的高OQ=10，
∴y=[（t-5）+2（t-5）]×10=15t-75
∴y=15t-75．
②如圖2，當10≤t≤15時，盲區是梯形A₂B₂C₂D₂，
易知A₂B₂是△PC₂D₂的中位線，且A₂B₂=5，
∴C₂D₂=10
又∵梯形A₂B₂C₂D₂的高OQ=10，
∴y=（5+10）×10=75
∴y=75．
③如圖3，當15≤t≤20時，盲區是梯形B₃BCC₃
易知BB₃是△PCC₃的中位線
且BB₃=5-（t-15）=20-t
又∵梯形B₃BCC₃的高OQ=10，
∴y=[（20-t）+2（20-t）]×10=300-15t
∴y=300-15t．
④當5≤t≤10時，由一次函數y=15t-75的性質可知，盲區的面積由0逐漸增大到75；
當10≤t≤15時，盲區的面積y為定值75；
當15≤t≤20時，由一次函數y=300-15t的性質可知，盲區的面積由75逐漸減小到0．（12分）

（3）通過上述研究可知，列車從M點向N點方向運行的過程中，在區域MNCD內盲區面積大小的變化是：
①在0≤t≤10時段內，盲區面積從0逐漸增大到75；
②在10≤t≤15時段內，盲區的面積為定值75；
③在15≤t≤20時段內，盲區面積從75逐漸減小到0．
點評：本題主要考查了梯形的面積公式，盲區，一次函數等知識點，知識點比較多，需要細心求解．