Question

（2006•濰坊）已知二次函數圖象的頂點在原點O，對稱軸為y軸．一次函數y=kx+1的圖象與二次函數的圖象交于A，B兩點（A在B的左側），且A點坐標為（-4，4）．平行于x軸的直線l過（0，-1）點．
（1）求一次函數與二次函數的解析式；
（2）判斷以線段AB為直徑的圓與直線l的位置關系，并給出證明；
（3）把二次函數的圖象向右平移2個單位，再向下平移t個單位（t＞0），二次函數的圖象與x軸交于M，N兩點，一次函數圖象交y軸于F點．當t為何值時，過F，M，N三點的圓的面積最小，最小面積是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）已知了一次函數的圖象經過A點，可將A點的坐標代入一次函數中，即可求出一次函數的解析式．
由于拋物線的頂點為原點，因此可設其解析式為y=ax²，直接將A點的坐標代入拋物線中即可求出拋物線的解析式．
（2）求直線與圓的位置關系需知道圓心到直線的距離和圓的半徑長．由于直線l平行于x軸，因此圓心到直線l的距離為1．因此只需求出圓的半徑，也就是求AB的長，根據（1）中兩函數的解析式即可求出B點的坐標，根據A、B兩點的坐標即可求出AB的長．然后判定圓的半徑與1的大小關系即可．
（3）先設出平移后拋物線的解析式，不難得出平移后拋物線的對稱軸為x=2．因此過F，M，N三點的圓的圓心必在直線x=2上，要使圓的面積最小，那么圓心到F點的距離也要最小（設圓心為C），即F，C兩點的縱坐標相同，因此圓的半徑就是2．C點的坐標為（2，1）（可根據一次函數的解析式求出F點的坐標）．可設出平移后的拋物線的解析式，表示出MN的長，如果設對稱軸與x軸的交點為E，那么可表示出ME的長，然后在直角三角形MEC中根據勾股定理即可確定平移的距離．即t的值．（也可根據C點的坐標求出M，N點的坐標，然后用待定系數法求出平移后的拋物線的解析式，經過比較即可得出平移的距離，即t的值）．
解答：解：（1）把A（-4，4）代入y=kx+1
得k=-，
∴一次函數的解析式為y=-x+1；
∵二次函數圖象的頂點在原點，對稱軸為y軸，
∴設二次函數解析式為y=ax²，
把A（-4，4）代入y=ax²
得a=，
∴二次函數解析式為y=x²．

（2）由
解得或，
∴，
過A，B點分別作直線l的垂線，垂足為A'，B'，
則AA′=4+1=5，BB′=+1=．
∴直角梯形AA'B'B的中位線長為，
過B作BH垂直于直線AA'于點H，
則BH=A'B'=5，，
∴，
∴AB的長等于AB中點到直線l的距離的2倍，
∴以AB為直徑的圓與直線l相切．

（3）平移后二次函數解析式為y=（x-2）²-t，
令y=0，得（x-2）²-t=0，x₁=2-2，x₂=2+2，
∵過F，M，N三點的圓的圓心一定在平移后拋物線的對稱軸上，點C為定點，B要使圓面積最小，圓半徑應等于點F到直線x=2的距離，
此時，半徑為2，面積為4π，
設圓心為C，MN中點為E，連CE，CM，則CE=1，
在△CEM中，ME=，
∴MN=2，而MN=|x₂-x₁|=4，
∴t=，
∴當t=時，過F，M，N三點的圓面積最小，最小面積為4π．
點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式、二次函數的平移等知識點，綜合性強考查學生數形結合的數學思想方法．