Question

如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，以點A（0，-3）為圓心，5為半徑作圓A，交x軸于B，C兩點，交y軸于點D，E兩點．
（1）求點B，C，D的坐標；
（2）一個二次函數圖象經過B，C，D三點，求這個二次函數解析式；
（3）P為x軸正半軸上的一點，過點P作與圓A相離并且與x軸垂直的直線，交上述二次函數圖象于點F，當△CPF中一個內角的正切值為

1

2

時，求點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）由A的坐標得到OA的長，再由AD的長，利用AD-OA求出OD的長，確定出D的坐標，連接AC，由x軸于y軸垂直，得到三角形AOC為直角三角形，由AC及OA的長，利用勾股定理求出OC的長，確定出C的坐標，同理確定出B的坐標；
（2）設所求二次函數的解析式為y=ax²+bx+c，將第一問求出的B，C，D的坐標代入，得到關于a，b及c的方程組，求出方程組的解得到a，b及c的值，即可確定出所求拋物線的解析式；
（3）設P的坐標為（t，0），由過P與x軸垂直的直線與圓O外離，且半徑為5，得到t大于5，由F在過P與x軸垂直的直線上，得到F的橫坐標為t，將t代入拋物線解析式求出F的縱坐標，表示出F的坐標，進而表示出PC與PF，由∠CPF=90°，當△CPF中一個內角的正切值為

1

2

時，分兩種情況考慮，CP比PF等于

1

2

，或PF比CP等于

1

2

，方百年列出關于t的方程，求出方程的解得到t的值，找出t大于5的解，即可確定出P的坐標．

解答：解：（1）∵點A的坐標為（0，-3），線段AD=5，
∴點D的坐標（0，2），
連接AC，如圖所示：

在Rt△AOC中，∠AOC=90°，OA=3，AC=5，
∴OC=4，
∴點C的坐標為（4，0）；同理可得點B坐標為（-4，0）；
（2）設所求二次函數的解析式為y=ax²+bx+c，
由于該二次函數的圖象經過B，C，D三點，
則

16a-4b+c=0 16a+4b+c=0 c=2

，
解得：

a=- 1 8 b=0 c=2

，
∴所求的二次函數的解析式為y=-

1

8

x²+2；
（3）設點P坐標為（t，0），由題意得t＞5，
且點F的坐標為（t，-

1

8

t²+2），PC=t-4，PF=

1

8

t²-2，
∵∠CPF=90°，
∴當△CPF中一個內角的正切值為

1

2

時，
①若

CP

PF

=

1

2

時，即

t-4

1 8 t2-2

=

1

2

，解得t₁=12，t₂=4（舍）；
②當

PF

CP

=

1

2

時，即

1 8 t2-2

t-4

=

1

2

，解得t₁=0（舍），t₂=4（舍），
則所求點P的坐標為（12，0）．

點評：此題屬于二次函數的綜合題，涉及的知識有：勾股定理，利用待定系數法求拋物線的解析式，銳角三角函數定義，以及平面直角坐標系與點的坐標，利用了轉化及分類討論的思想，同時第三問注意求出的t必須大于5．