Question

（2012•上城區二模）已知拋物線y=-x²+3x+4交y軸于點A，交x軸于點B，C（點B在點C的右側）．過點A作垂直于y軸的直線l．在位于直線l下方的拋物線上任取一點P，過點P作直線PQ平行于y軸交直線l于點Q．連接AP．
（1）寫出A，B，C三點的坐標；
（2）若點P位于拋物線的對稱軸的右側：
①如果以A，P，Q三點構成的三角形與△AOC相似，求出點P的坐標；
②若將△APQ沿AP對折，點Q的對應點為點M．是否存在點P，使得點M落在x軸上？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線的解析式即可得出點A、B、C的坐標；
（2）①分兩種情況討論，①△PQA∽△AOC，②△AQP∽△AOC，繼而根據相似三角形的對應邊成比例可得出點P的坐標；
②設點Q（x，4），P（x，-x²+3x+4），從而表示出PQ，結合△AEM∽△MFP，利用相似三角形的性質可得出關于x的方程，繼而解出后檢驗即可得出答案．

解答：解：（1）由題意得，y=-x²+3x+4=-（x-4）（x+1），
故可得：A（0，4），B（4，0），C（-1，0），

（2）
過點M作x軸的垂線交l于E，交另一條直線于F，
①1）若△PQA∽△AOC，則

AQ

QP

=

OC

AO

，即

x

x2-3x

=

1

4

，解得：x=7；
2）若△AQP∽△AOC，則

AQ

QP

=

AO

OC

，即

x

x2-3x

=

4

1

，
解得：x=

13

4

綜合1）2）可得點P均在拋物線對稱軸的右側，
∴點P的坐標為(

13

4

，

51

16

)或(7，-24)，
②設點Q（x，4），P（x，-x²+3x+4），則PQ=x²-3x=PM，
∵△AEM∽△MFP．
則有

AM

ME

=

MP

PF

．
∵ME=OA=4，AM=AQ=x，PM=PQ=x²-3x，
∴

x

4

=

x2-3x

PF

．
解得：PF=4x-12，
∴OM=（4x-12）-x=3x-12，
Rt△AOM中，由勾股定理得OM²+OA²=AM²，
∴（3x-12）²+4²=x²，解得x₁=4，x₂=5，均在拋物線對稱軸的右側，
故點P的坐標為（4，0）或（5，-6）．

點評：此題考查了二次函數的綜合題目，難點在第二問，①需要注意討論，不要漏解，②需要注意先設出點P及點Q的坐標，然后利用相似三角形及勾股定理的知識進行求解，難度較大．