Question

如圖，一次函數y=kx+b的圖象經過第一、二、三象限，且與反比例函數圖象相交于A，B兩點，與y軸交于點C，與x軸交于點D，OB=．且點B橫坐標是點B縱坐標的2倍．
（1）求反比例函數的解析式；
（2）設點A橫坐標為m，△ABO面積為S，求S與m的函數關系式，并求出自變量的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據點B的橫坐標是點B的縱坐標的2倍，且OB=，結合勾股定理，即可求出B點的坐標，從而求出反比例解析式；
（2）在（1）的基礎上，當A點的橫坐標已知的情況下，A點的縱坐標也可求出，把A、B的坐標代入一次函數解析式中，利用待定系數法，可求出解析式，從而可求出直線與坐標軸的交點．
再進一步利用求和的方法，求三角形ABO的面積時，可列出等量關系，從而得出函數解析式．
解答：解：（1）設點B的縱坐標為t，則點B的橫坐標為2t．
根據題意，得（2t）²+t²=（）²，
∵t＜0，
∴t=-1．
∴點B的坐標為（-2，-1）．
設反比例函數為y=，得
k₁=（-2）×（-1）=2，
∴反比例函數解析式為y=．

（2）設點A的坐標為（m，）．
根據直線AB為y=kx+b，可以把點A，B的坐標代入，
得，解得．
∴直線AB為y=．
當y=0時，=0，
∴x=m-2，
∴點D坐標為（m-2，0）．
∵S_△ABO=S_△AOD+S_△BOD，
∴S=×|m-2|×+×|m-2|×1，
∵m-2＜0，＞0，
∴S=，
∴S=．
且自變量m的取值范圍是0＜m＜2．
點評：此題考查了勾股定理、待定系數法以及數形結合思想，難易程度適中．