Question

已知正方形AOCB和正方形GOHP的一個頂點O重合，邊OA在OG上，邊OC在OH上，正方形AOCB的邊長為2．現將正方形AOCB繞O點順時針旋轉，當A點第一次落在OP直線上時停止旋轉，旋轉過程中，AB邊交OP于點M，BC邊交OH于點N．
（1）求邊OA在整個旋轉過程中所掃過的面積；
（2）旋轉過程中，當MN和AC平行時，求正方形AOCB旋轉的度數；
（3）設△MBN的周長為k，在旋轉正方形OABC的過程中，k值是否有變化？若無變化，請求出k的值；若變化，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據正方形性質求出旋轉的圓心角度和扇形的半徑，根據扇形面積公式求出即可；
（2）求出BM=BN，推出AM=AN，證△OAM≌△OCN，推出∠AOM=∠CON，即可求出答案；
（3）根據全等三角形的性質求出AE=CN，求出NM=AM+CN，代入三角形的周長即可求出k=AB+BC=2+2=4．

解答：解：（1）∵四邊形OGPH和四邊形OACB是正方形，
∴∠GOP=∠POH=45°，OA=OC=2，
∴當A點第一次落在OP直線上，旋轉的圖形（扇形）的圓心角的度數是45°，半徑是2，
∴邊OA在整個旋轉過程中所掃過的面積是

45•π•22

360

=

π

2

．

（2）解：∵MN∥AC，
∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°
∴∠BMN=∠BNM，
∴BM=BN，
由旋轉可知：∠AOM=∠OCN，
又∵BA=BC，
∴AM=CN，
在△OAM和△OCN中

OA=OC ∠OAM=∠OCN AM=CN

∴△OAM≌△OCN（SAS），
∴∠AOM=∠CON，
∴∠AOM=

1

2

（90°-45°）=22.5°．

（3）k值無變化．   
延長BA交OG于E點，則∠AOE=45°-∠AOM=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM，
∴∠AOE=∠CON，
又∵OA=OC，∠OAE=∠CON，
在△OAE和△OCN中，

∠EAO=∠OCN OA=OC ∠EOA=∠CON

，
∴△OAE≌△OCN（ASA），
∴OE=ON，AE=CN，
在△OME和△OMN中，

OE=ON ∠EOM=∠NOM=45° OM=OM

，
∴△OME≌△OMN（SAS），
∴MN=ME=AM+AE，
∴MN=AM+CN，
∵△BMN的周長是k，
∴k=BM+BN+MN=BM+BN+AM+CN=AB+BC=2+2=4，
即k=4，
∴在旋轉正方形OABC的過程中，k值無變化．

點評：本題考查了正方形性質，全等三角形的性質和判定，旋轉的性質，扇形的面積的應用，主要考查學生綜合運用性質進行推理和計算的能力．