Question

隨著近幾年城市建設的快速發展，對花木的需求量逐年提高，某園林專業戶計劃投資15萬元種植花卉和樹木．根據市場調查與預測，種植樹木的利潤y₁（萬元）與投資量x（萬元）成正比例關系：y₁=2x；種植花卉的利潤y₂（萬元）與投資量x（萬元）的函數關系如圖所示（其中OA是拋物線的一部分，A為拋物線的頂點；AB∥x軸）．
（1）寫出種植花卉的利潤y₂關于投資量x的函數關系式；
（2）求此專業戶種植花卉和樹木獲取的總利潤W（萬元）關于投入種植花卉的資金t（萬元）之間的函數關系式；
（3）此專業戶投入種植花卉的資金為多少萬元時，才能使獲取的利潤最大，最大利潤是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）從y₂（萬元）與投資量x（萬元）的函數關系圖可知，當0＜x≤5時y₂與x的關系式圖象為二次函數圖象的一部分，當x＞5時，y₂=25，故應分兩種情況；
（2）根據（1）中所求關系式及y₁=2x及共投資15萬元，列出關于w、t的函數關系式；
（3）由（2）中w、t的關系式求出w的最大值即可．
解答：解：（1）由函數圖象可知，當x≤5時，y₂與x的關系式圖象為拋物線的一部分，
設此拋物線的解析式為：y=a（x-5）²+25，
把（0，0）代入解析式得，0=25a+25，（x≤5）．
解得a=-1．
故函數解析式為y₁=-（x-5）²+25，（x≤5）．
當x＞5時，y₂=25，（x＞5）；

（2）因為投入種植花卉t萬元，則投入種植樹木（15-t）萬元．
當t≤5時，y₁=2（15-t），y₂=-（t-5）²+25，
則W=-（t-5）²+25+2（15-t）=-t²+8t+30；
當5＜t＜15時，y₁=2（15-t），y₂=25，
則W=55-2t．

（3）∵W=-t²+8t+30，
根據二次函數的性質，當t=-=4萬元時，W取得最大值，
W_最大值=-4²+8×4+30=-16+32+30=46萬．
點評：此題考查了二次函數的應用，不僅要求同學們有卓越的觀察力，還要熟悉二次函數的性質，尤其是二次函數的最值，有一定難度．