Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與軸交于O點、A點，B為拋物線上一點，C為y軸上一點，連接BC，且BC//OA，已知點O（0，0），A（6，0），B（3，m），AB=.

（1）求B點坐標及拋物線的解析式.，

（2）M是CB上一點，過點M作y軸的平行線交拋物線于點E，求DE的最大值；

（3）坐標平面內是否存在一點F，使得以C、B、D、F為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出符合條件的點F坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）B（6，0），y=;(2);(3) 滿足條件的F點共3個：，，

【解析】分析：（1）運用勾股定理求出m的值，根據題意得點B為拋物線的頂點，設設拋物線為，即可求解；

（2）可求，設E，則D（，故DE＝，從而可得結果；

（3）設F，根據菱形的判定分三種情況進行討論計算即可得解.

詳解：（1）如圖，過點B作BG⊥OA于G，

由A（6，0），O（0，0）知拋物線對稱軸為直線，

∴點B為拋物線的頂點。

∴AG=OG＝3，

∴，即，

解得，

∴B（3，6），

設拋物線為，過點B（6，0），

∴9a+6=0

∴a=-,

∴y=-(x-3)2+6=-x2+4x;

（2）可求，設E，則D（，

∴DE＝，

∴當x=，DE最大=.

（3）設F，

①當CD為菱形對角線時，

∵FD∥BC，

∴

∴

解得（舍去），.

②當BD為菱形對角線時，

∴

∴，（舍去）

③當BC為菱形對角線時，D、F均在BC的垂直平分線上，且FP=PD，

則，則D（，則PD=3，則，，。

綜上所述，滿足條件的F點共3個：，，。