Question

（2012•營口二模）已知點P是矩形ABCD邊AB上的任意一點（與點A、B不重合）．  
（1）如圖①，現將△PBC沿PC翻折得到△PEC；再在AD上取一點F，將△PAF沿PF翻折得到△PGF，并使得射線PE、PG重合，試問FG與CE的位置關系如何，請說明理由；
（2）在（1）中，如圖②，連接FC，取FC的中點H，連接GH、EH，請你探索線段GH和線段EH的大小關系，并說明你的理由；
（3）如圖③，分別在AD、BC上取點F、C′，使得∠APF=∠BPC′，與（1）中的操作相類似，即將△PAF沿PF翻折得到△PFG，并將△PBC′沿PC′翻折得到△PEC′，連接FC′，取FC′的中點H，連接GH、EH，試問（2）中的結論還成立嗎？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據矩形的性質以及軸對稱的性質可以得到∠G=∠GEC=90°，根據內錯角相等，即可證明兩條直線平行；
（2）延長GH交CE于點M，結合（1）中的結論證明△GFH≌△MHC，再運用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半進行證明結論；
（3）取PF的中點M，PC'的中點N，根據直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的一半以及三角形的中位線定理得到平行四邊形，這幾個平行四邊形的性質證明要證明的兩條線段所在的兩個三角形全等，從而證明結論．
解答：解：（1）FG∥CE，在矩形ABCD中，∠A=∠B=90°，由題意得
∠G=∠A=90°，∠PEC=∠B=90°
∴∠GEC=90°
∴∠G=∠GEC
∴FG∥CE．

（2）GH=EH．
延長GH交CE于點M，由（1）得，FG∥CE
∴∠GFH=∠MCH
∵H為CF的中點
∴FH=CH
又∵∠GHF=∠MHC
∴△GFH≌△MHC
∴GH=HM=，
∵∠GEC=90°
∴EH=
∴GH=EH．
 

（3）（2）中的結論還成立．
取PF的中點M，PC'的中點N，連接GM，EN，HM，HN，
∵∠FGP=90°，M為PF的中點
∴，，HM∥PC'
∴GM=PM
∴∠GPF=∠MGP
∴∠GMF=∠GPF+∠MGP=2∠GPF
∵H為FC'的中點，M為PF的中點
∴
同理，，HN∥PF，∠ENC'=2∠EPC'
∴GM=HN，HM=EN
∵∠GPF=∠FPA，∠EPC'=∠BPC'
又∵∠BPC'=∠APF，
∴∠GPF=∠EPC'
∴∠GMF=∠ENC'，
∵HM∥PC'，HN∥PF
∴四邊形HMPN為平行四邊形
∴∠HMF=∠HNC'
∴∠GMH=∠HNE
∵GM=HN，HM=EN
∴△GMH≌△HNE
∴GH=HE．
點評：綜合考查圖形變換的性質，邏輯推理能力以及探究能力．會熟練運用全等的性質和中位線定理解題是基本的數學能力．