Question

如圖所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，試在腰AB上確定點P的位置，使得以P，A，D為頂點的三角形與以P，B，C為頂點的三角形相似．

Answer 1

【答案】分析：此題考查了相似三角形的判定與性質，解題時要認真審題，選擇適宜的判定方法．解題時要注意一題多解的情況，要注意別漏解．
解答：解：（1）若點A，P，D分別與點B，C，P對應，即△APD∽△BCP，
∴=，
∴=，
∴AP²-7AP+6=0，
∴AP=1或AP=6，
檢測：當AP=1時，由BC=3，AD=2，BP=6，
∴=，
又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BCP．
當AP=6時，由BC=3，AD=2，BP=1，
又∵∠A=∠B=90°，
∴△APD∽△BCP．

（2）若點A，P，D分別與點B，P，C對應，即△APD∽△BPC．
∴=，∴=，∴AP=．
檢驗：當AP=時，由BP=，AD=2，BC=3，
∴=，
又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BPC．
因此，點P的位置有三處，即在線段AB距離點A的1、、6處．
點評：此題考查了相似三角形的判定和性質；判定為：
①有兩個對應角相等的三角形相似；
②有兩個對應邊的比相等，且其夾角相等，則兩個三角形相似；
③三組對應邊的比相等，則兩個三角形相似；性質為相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等．