Question

已知關于x的三次多項式f（x）除以x²-1時，余式是2x-3，除以x²-4時，余式是-3x-4時，求這個三次多項式．

Answer 1

解：設f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），
f（x）除以x²-1，x²-4時，
商式分別為ax+m，ax+n，
則ax³+bx²+cx+d=（x²-1）（ax+m）+2x-3①，
ax³+bx²+cx+d=（x²-4）（ax+n）-3x-4②，
在①式中分別取x=1，-1時，
a+b+c+d=-1③
-a+b-c+d=-5④
在②式中分別取x=2，-2時，
8a+4b+2c+d=-10⑤
-8a+4b-2c+d=2⑥
聯立③④⑤⑥，解得：a=-，b=-，c=，d=-．
所以所求的三次多項式為f（x）=-x³-x²+x-．
分析：設f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），f（x）除以x²-1，x²-4時，商式分別為ax+m，ax+n，則ax³+bx²+cx+d=（x²-1）（ax+m）+2x-3①ax³+bx²+cx+d=（x²-4）（ax+n）-3x-4②，用特值法列出方程組，從而確定a，b，c，d這4個系數．
點評：此題考查多項式的除法，利用了被除式=商×除式+余式，用特值法列方程組求解，難度較大．