Question

如圖，已知：△ABC是⊙O的內接三角形，D是OA延長線上的一點，連接DC，且∠B=∠D=30°．
（1）判斷直線CD與⊙O的位置關系，并說明理由．
（2）若AC=6，求圖中弓形（即陰影部分）的面積．

Answer 1

分析：（1）連接OC．欲證明DE是⊙O的切線，只需證明DC⊥OC即可；
（2）利用弓形的面積等于扇形的面積減去三角形的面積計算陰影部分的面積即可．

解答：解：（1）直線CD是⊙O的切線
理由如下：
如圖，連接OC
∵∠AOC、∠ABC分別是AC所對的圓心角、圓周角
∴∠AOC=2∠ABC=2×30°=60°
∴∠D+∠AOC=30°+60°=90°
∴∠DCO=90°
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切線

（2）過O作OE⊥AC，點E為垂足
∵OA=OC，∠AOC=60°
∴△AOC是等邊三角形
∴OA=OC=AC=6，∠OAC=60°
在Rt△AOE中
OE=OA•sin∠OAC=6•sin60°=3

3

∴S_△AOC=

1

2

×6×3

3

=9

3

∵S_扇形AOC=

60π?62

360

=6π
∴S_陰=S_扇形AOC-S_△AOC=6π-9

3

點評：本題考查了切線的判定與性質、解直角三角形；證明某一線段是圓的切線時，一般情況下是連接切點與圓心，通過證明該半徑垂直于這一線段來判定切線．