Question

【題目】如圖，已知拋物線的頂點為P（1，4），與y軸交于點C（0，3），與x軸交于點A，B．

（1）求此拋物線的解析式．

（2）設Q是直線BC上方該拋物線上除點P外的一點，且△BCQ與△BCP的面積相等，求點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）Q為（2，3）．

【解析】

（1）設頂點式y＝a（x﹣1）2+4（a≠0），然后把C點坐標代入可求出a，從而得到拋物線解析式；

（2）易得直線BC解析式為y＝﹣x+3，利用三角形面積公式可判斷PQ∥BC，過P作PQ∥BC，交拋物線所得交點既為所求點Q．再求出直線PQ解析式為y＝﹣x+5，然后解方程組，可得Q點坐標．

解：（1）拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2+4（a≠0），

把C（0，3）代入拋物線解析式得：a+4＝3，解得a＝﹣1，

∴拋物線解析式為y＝﹣（x﹣1）2+4，

即y＝﹣x2+2x+3；

（2）當y＝0時，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，則B（3，0），

易得直線BC解析式為y＝﹣x+3，

∵S△PBC＝S△QBC，

∴PQ∥BC，

過P作PQ∥BC，交拋物線所得交點既為所求點Q．

∵P（1，4），

∴直線PQ解析式為y＝﹣x+5，

解方程組，

得：或，

∴Q為（2，3）．