Question

（本小題滿分8分）
如圖，已知拋物線C₁與坐標軸的交點依次是A（－4，0），B（－2，0），E（0，8）。
（1）求拋物線C₁關于原點對稱的拋物線C₂的解析式；
（2）設拋物線C₁的頂點為M，拋物線C₂與x軸分別交于C、D兩點（點C在點 D的左側），頂點為N，四邊形MDNA的面積為S。若點A、點D同時以每秒1個單位的速度沿水平方向分別向右、向左運動；與此同時，點M、點N同時以每秒2個單位的速度沿豎直方向分別向下、向上運動，直到點A與點D重合為止。求出四邊形MDNA的面積S與運動時間t之間的關系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（3）當t為何值時，四邊形MDNA的面積S有最大值，并求出此最大值；
（4）在運動過程中，四邊形MDNA能否形成矩形？若能，求出此時t的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

（1）
（2）
（3）當時，。
（4）在運動過程中MDNA可以形成矩形，此時

解析試題考查知識點：二次函數的解析式；中心對稱圖形；動點問題
思路分析：先求出拋物線C₁的解析式，再根據中心對稱圖形的特點求拋物線C₂的解析式；建立面積與時間的關系，再進行分析得出時間的變化范圍；極值問題實際上是二次函數配方后的最大（小）值；根據矩形的判定方法建立關系，從而得解。
具體解答過程：
（1）、設拋物線C₁的解析式為y=ax²+bx+c
∵拋物線C₁與坐標軸的交點依次是A（－4，0），B（－2，0），E（0，8）
∴把x=-4,y=0與x=-2,y=0和x=0,y=8分別代入到解析式中，可得：
解之得：
∴拋物線C₁的解析式為y=x²+6x+8
如圖所示，拋物線C₁關于原點對稱的拋物線C₂的大致圖像為：

與拋物線C₁的解析式為y=x²+6x+8比較可知，拋物線C₂的解析式應為為-y=（-x）²+6（-x）+8即y=-x²+6x-8
（2）、如圖所示。四邊形MDNA的面積為S。若點A、點D同時以每秒1個單位的速度沿水平方向分別向右、向左運動；與此同時，點M、點N同時以每秒2個單位的速度沿豎直方向分別向下、向上運動，直到點A與點D重合為止�？芍狝與D、M與N的運動各自具有對稱性。

∵拋物線C₁與坐標軸的交點依次是A（－4，0），B（－2，0），拋物線C₁與拋物線C₂關于原點對稱
∴C（2，0）；D（4，0）；N（0,1）且四邊形MDNA的面積為S=2S_△AND
做NP⊥x軸，垂足為P，則NP=1。當運動時間為t時，AD=8-2t,NP=1+2t
∴四邊形MDNA的面積為S=2S_△AND=2××（8-2t）（1+2t）
即S=-4t²+14t+8
很顯然，當A、D兩點運動至原點位置處重合，此時，t==4秒
∴自變量t的取值范圍為0≤t≤4
考慮到當t=4秒時，四邊形MDNA將匯集成一條線段，故t=4秒應當舍去。
綜上所述，四邊形MDNA的面積S與運動時間t之間的關系式為S=-4t²+14t+8，且自變量t的取值范圍為0≤t＜4
（3）對于S=-4t²+14t+8，配方可得：S=-4（t-）²+
∵-4（t-）²≤0
∴當t-=0即t=時，S有最大值，且最大值為
（4）在運動過程中，四邊形MDNA能形成矩形。
當運動時間為t時，AD=8-2t，而的坐標為M（-3,-1-2t），N（3,1+2t）
∴此時線段MN的長度為MN==2
根據矩形的對角線相等的性質，當MN=AD時，四邊形MDNA能形成矩形。
∴2=8-2t解之得：t=±-2
當t=--2時，t＜0，不符合題意，故舍去。
∴t=-2
故知，在運動過程中，當t=--2時，四邊形MDNA能形成矩形。
試題點評：這是一道關于二次函數、二元一次方程、根式方程、直角坐標系等的綜合性試題。