Question

【題目】如圖，在⊙O中，AB是直徑，點D是⊙O上的一點，點C是 的中點，弦CM垂直AB于點F，連接AD，交CF于點P，連接BC，∠DAB=30°．

（1）求∠ABC的度數；
（2）若CM=4 ，求 的長度．（結果保留π）

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，連接BD，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∵∠DAB=30°，

∴∠ABD=90°﹣30°=60°．

∵C是 的中點，

∴∠ABC=∠DBC= ∠ABD=30°

（2）解：如圖，連接OC，則∠AOC=2∠ABC=60°，

∵CM⊥直徑AB于點F，

∴CF= CM=2 ．

∴在Rt△COF中，CO= CF= ×2 =4，

∴ 的長度為 = ．

【解析】（1）連接BD，根據AB為⊙O的直徑，求出∠ADB=90°，得到∠ABD=60°，再根據C是 的中點，求出∠ABC的度數；（2）連接OC，則∠AOC=2∠ABC=60°，求出CO的長，即可求出 的長度．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解垂徑定理的相關知識，掌握垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧，以及對圓心角、弧、弦的關系的理解，了解在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等；在同圓或等圓中，同弧等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．