Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，點E是BC上一動點（不與B、C重合），且DF⊥AE，垂足為F．設AE=xcm，DF=ycm．
（1）求證：△DFA∽△ABE；
（2）試求y與x之間的函數關系式，并求出自變量的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）要求△ABE∽△DFA，能看出有一對直角相等，只需要再找一對角相等，因為四邊形ABCD是長方形，那么就出現平行線，有線的平行可得出一對內錯角相等，故可證兩三角形相似．
（2）由（1）的相似，可得到比例線段，就可得出x與y的關系式，通過觀察圖可以知道，AE最小大于AB，最大小于AC，再由勾股定理可求出AC的值，因此可得x的取值范圍．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是長方形，
∴AD∥BC，∠ABE=90°．
∴∠DAF=∠AEB．
又∵DF⊥AE，
∴∠AFD=90°．
∴∠ABE=∠DFA．
∴△ABE∽△DFA．

（2）∵△ABE∽△DFA，
∴

AB

DF

=

AE

AD

．
∴

3

y

=

x

4

．
∴xy=12．
∴y=

12

x

．
根據圖可知，AE最小大于AB，最大小于AC，AC=

AB2+BC2

=

32+42

=5．
∴3＜x＜5．

點評：本題利用了相似三角形的判定及勾股定理．