Question

【題目】如圖，是正方形的對角線，.邊在其所在的直線上平移，將通過平移得到的線段記為，連接、，并過點作，垂足為，連接、.

(1)請直接寫出線段在平移過程中，四邊形是什么四邊形；

(2)請判斷、之間的數量關系和位置關系，并加以證明；

(3)在平移變換過程中，設，，求與之間的函數關系式.

Answer 1

【答案】(1)四邊形是平行四邊形；(2)且，證明見解析；(3)見解析.

【解析】

（1）根據平移的性質，可得PQ=BC=AD，根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可得答案；

（2）根據正方形的性質，平移的性質，可得PQ與AB的關系，根據等腰直角三角形的判定與性質，可得∠PQO，根據全等三角形的判定與性質，可得AO與OP的數量關系，根據余角的性質，可得AO與OP的位置關系；

（3）根據等腰直角三角形的性質，可得OE的長，根據三角形的面積公式，可得函數關系式.

(1)根據平移的性質可得，PQ=BC，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴BC=AD，BC∥AD，

∴PQ=AD，PQ∥AD，

∴四邊形是平行四邊形.

(2)且.證明如下：

①當向右平移時，如圖，

∵四邊形是正方形，

∴，.

∵，∴.

∵，

∴，

∴

∴，

∴.

在和中，

∴，

∴，.

∵，

∴，即.

∴，

∴且.

②當向左平移時，如圖，

同理可證，，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∴且.

(3)過點作于.

在中，，

∴.

①當向右平移時，如圖，

，

∴.

∵，

∴.

②當向左平移時，如圖，

，

∴.

∵.

∴.