Question

如圖已知直線L：y=

3

4

x+3，它與x軸、y軸的交點分別為A、B兩點．
（1）求點A、點B的坐標．
（2）設F為x軸上一動點，用尺規作圖作出⊙P，使⊙P經過點B且與x軸相切于點F（不寫作法，保留作圖痕跡）．
（3）設（2）中所作的⊙P的圓心坐標為P（x，y），求y關于x的函數關系式．
（4）是否存在這樣的⊙P，既與x軸相切又與直線L相切于點B？若存在，求出圓心P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）令x=0以及y=0代入直線解析式可求出A，B的坐標；
（2）做PD⊥y軸于D，根據勾股定理得出PB²=PD²+BD²，BP²=PD²+BD²．得出y與x的關系式即可；
（3）依題意可得AB²=OA²+OB²=AF²=5²，求出關于x的值代入解析式，求出y值即可，求出點P的坐標．

解答：解：（1）令y=0得x=-4，令x=0得，y=3，
∴A（-4，0），B（0，3）；

（2）如圖：

（3）過點P作PD⊥y軸于D，則PD=|x|，BD=|3-y|，PB=PF=y，
∵△BDP為直角三角形，
∴BP²=PD²+BD²，
即|y|²=|x|²+|3-y|²，
y²=x²+（3-y）²，
∴y與x的函數關系為y=

1

6

x²+

3

2

；

（4）存在．
解：∵⊙P與x軸相切于點F，且與直線l相切于點B，
∴AB=AF，
∵AB²=OA²+OB²=5²，
∴AF²=5²，
∵AF=|x+4|，
∴（x+4）²=5²，
∴x=1或x=-9，
把x=1或x=-9代入y=

1

6

x²+

3

2

，
得y=

5

3

或y=15，
∴點P的坐標為（1，

5

3

）或（-9，15）．

點評：本題考查的是一次函數的圖形與應用的有關知識以及考生作圖能力，難度中等．