Question

如圖，拋物線y=x²-2與直線y=x相交于點A、B．
（1）求A、B兩點的坐標；
（2）當x滿足什么條件時，一次函數的值大于二次函數的值；
（3）直線l垂直于x軸，與拋物線交于C，與直線AB交于點D，直線l在A、B兩點之間移動，求線段CD的最大值；
（4）點P是直線AB上一動點，是否存以P，A，M為頂點的三角形與△ABM相似？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）聯立直線AB和拋物線的解析式即可求出A、B的坐標．
（2）根據（1）得出的A、B的坐標（此時兩函數值相等），以及兩函數的圖象即可得出x的取值范圍．（或者令直線的表達式大于拋物線的表達式，可得出一個關于x的不等式方程，解方程后即可得出x的取值范圍．）
（3）線段DC表示的是一次函數的函數值與拋物線的函數值之間的差的絕對值，據此可得出一個關于DC的長和D點橫坐標（或C點橫坐標）的函數關系式，根據函數的性質即可求出DC的最大值．
（4）根據A（-1，1），M（0，-2）可得出三角形MOA是個等腰直角三角形，因此∠MAO=90°，本題可分四種情況討論：
當P在線段AB上時，
①當∠APM=∠ABM時，△BAM∽△PAM，此時P，B重合，P（2，2）．
②當∠AMP=∠ABM時，△APM∽△AMB，此時

AM

AB

=

AP

AM

，據此可求出AP的長，即可求出OP的值，據此可得出P點坐標．
當P在BA的延長線上時，也分兩種情況，解法同①②．
因此本題共有4個符合條件的P點．

解答：解：（1）由

y=x2-2 y=x

．
得：

x=-1 y=-1

，

x=2 y=2

，
所以A（-1，-1），B（2，2）；

（2）當-1＜x＜2時，一次函數的值大于二次函數的值；

（3）由條件可設點C（x，x²-2），點D（x，x），
那么CD=x-（x²-2）=-（x-

1

2

）²+

9

4

，且-1＜x＜2；
所以當x=

1

2

時，CD最大=

9

4

．
因x=

1

2

在-1＜x＜2范圍內．
所以線段CD的最大值是

9

4

．

（4）P（-4，-4）、P（2，2）、P（-

2

3

，-

2

3

）或P（-

4

3

，-

4

3

）．

點評：本題以二次函數為背景，結合動態問題、存在性問題．能力要求較高，要注意（4）題中，P點是在直線AB上運動，而不是線段AB，因此要把所有的情況都考慮到，不要漏解．