Question

如圖，△ABC、△DEF都是等邊三角形，點D為AB的中點，E在BC上運動，DF和EF分別交AC于G、H兩點，BC=2，問E在何處時CH的長度最大？

Answer 1

【答案】分析：首先設EC=x，CH=y，則BE=2-x，由△ABC、△DEF都是等邊三角形，易得△BED∽△CHE，根據相似三角形的對應邊成比例，即可得，又由點D為AB的中點，AB=BC=2，代入比例式，即可求得y=-x²+2x=-（x-1）²+1，然后根據二次函數的性質，即可求得答案．
解答：解：設EC=x，CH=y，則BE=2-x，
∵△ABC、△DEF都是等邊三角形，
∴∠B=∠DEF=60°，
∵∠B+∠BDE=∠DEF+∠HEC，
∴∠BDE=∠HEC，
∴△BED∽△CHE，
∴，
∵AB=BC=2，點D為AB的中點，
∴BD=1，
∴，
即：y=-x²+2x=-（x-1）²+1．
∴當x=1時，y最大．此時，E在BC中點．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、等邊三角形的性質以及二次函數的性質．此題難度適中，解題的關鍵是證得△BED∽△CHE，注意數形結合思想與方程思想的應用．