Question

已知：如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，點O關于直線AD的對稱點是E，連接AE、DE．
（1）試判斷四邊形AODE的形狀，不必說明理由；
（2）請你連接EB、EC，并證明EB=EC．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用對稱的性質，又因為四邊形ABCD是矩形，兩個結論聯合起來，可知四邊形AODE是菱形；
（2）先證出∠EAB=∠EDC，再證明△EAB≌△EDC，從而得出EB=EC．
解答：解：（1）四邊形AODE是菱形．理由如下：
∵點O和點E關于直線AD對稱，
∴△AOD≌△AED；
∴OA=AE  OD=DE；
∵由矩形ABCD，
∴OA=OD；
∴OA=OD=DE=EA；
∴四邊形AODE是菱形．

（2）∵四邊形AODE是菱形，
∴AE=ED；
∴∠EAD=∠EDA；
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠BAD=∠CDA=90°；
∴∠EAD+∠BAD=∠EDA+∠CDA；
∴∠EAB=∠EDC；
∴△EAB≌△EDC；
∴EB=EC．
點評：本題利用對稱的性質（對稱圖形全等）和矩形的性質（矩形的對角線互相平分），以及全等三角形的判定和性質．