Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，AB=10，點P在AB的延長線上，直線PC與⊙O交于C、D兩點，過點C作CE⊥AB，垂足為點E，且CE=4，連接AC、OC．
（1）求∠A的余切值；
（2）如果OC平分∠PCE，求CD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據相似三角形的判定得出△ACE∽△CBE，進而求出AE即可得出∠A的余切值；
（2）利用角平分線的性質得出EO=MO，進而利用勾股定理得出CM的值，即可得出CD的長．
解答：解：（1）如圖1，連接BC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠A+∠ACE=90°，∠ACE+∠BCE=90°，
∴∠A=∠BCE，
∴△ACE∽△CBE，
∴=，
∴=，
解得：AE=2或8（結合圖形，不合題意舍去），
∴∠A的余切值為：cotA===；

（2）如圖2，過點O作OM⊥CD于點M，
∵OC平分∠PCE，CE⊥AO，OM⊥CD，
∴EO=MO，
∵AE=2，∴EO=AO-AE=5-2=3，MO=3，
CO=AB=5，
∴CM==4，
∴CD=4×2=8．
點評：此題主要考查了圓的綜合應用以及相似三角形的判定和銳角三角函數以及勾股定理等知識，正確作出OM⊥CD這條輔助線得出MO的長度是解題關鍵．