Question

若正整系數二次方程4x²+mx+n=0有相異的兩個有理根p，q，且p＞q，又方程x²-px+2q=0與方程x²-qx+2p=0有一公共根，則方程x²-px+2q=0的另一根為    ．

Answer 1

【答案】分析：方程4x²+mx+n=0有相異的兩個有理根p，q，方程x²-px+2q=0與方程x²-qx+2p=0有一公共根，且p＞q，由已知條件先求出m，再求出n的值，根據根與系數的關系即可進行求解．
解答：解：設方程x²-px+2q=0與方程x²-qx+2p=0的公共根為a，則，
∴（p-q）（a+2）=0，
又∵p＞q，∴p-q≠0，即a+2=0，
∴a=-2，代入到x²-px+2q=0得2²+2p+2q=0，
∴p+q=-2，
又∵4x²+mx+n=0有相異二有理根p，q，
∴p+q=，
∴m=8，而△=m²-16n＞0，
∴8²-16n＞0，n＜4，
∵n為正整數，且△=m²-16n=8²-16n=16（4-n）為完全平方數，所以4-n=1，得n=3，
由于，
解得（舍去）或，
∴，
設方程x²-px+2q=0的另一根為β，則（-2）β=-3，
∴β=．
故答案為：
點評：本題主要考查了根與系數的關系及一元二次方程的解，難度較大，主要掌握x₁，x₂是方程x²+px+q=0的兩根時，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q．