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【題目】如圖,已知正方形ABCD的頂點D關于射線CP的對稱點G落在正方形內,連接BG并延長交邊AD于點E,交射線CP于點F.連接DFAFCG

1)試判斷DFBF的位置關系,并說明理由;

2)若CF4DF2,求AE的長;

3)若∠ADF2FAD,求tanFAD的值.

【答案】(1)DFBF,見解析;(2)(3)2

【解析】

(1)由軸對稱的性質可得CD=CGDF=FG,由“SSS”可證△CDF≌△CGF,可得∠CDF=CGF,由等腰三角形的性質和四邊形內角和定理可求∠DFB=90°,可得結論;

(2)過點CCHBFH,由等腰直角三角形的性質可求CH=FH=4,由勾股定理可求CG=BC=CD=2,通過證明△AEB∽△HBC,可得,即可求解;

(3)連接BD,過點FFMADM,作∠AFN=FAD,交ADN,由題意可證點DFAB四點共圓,可得∠DBF=DAF,∠FDA=FBA,可求∠FDA=30°,∠FAD=15°,利用銳角三角函數即可求解.

解:(1)DFBF

理由如下:

∵點D關于射線CP的對稱點G

CD=CGDF=FG

又∵CF=CF

∴△CDF≌△CGF(SSS)

∴∠CDF=CGF

CD=CB=CG

∴∠CGB=CBG

∵∠CGB+CGF=180°

∴∠CBG+CDF=180°

∵∠CDF+DFB+CBF+DCB=360°

180°+90°+DFB=360°

∴∠DFB=90°

DFBF

(2)如圖,過點CCHBFH

∵△CDF≌△CGF,∠DFB=90°

∴∠CFD=CFG=45°DF=FG=2

CHBF

∴∠CFH=FCH=45°

CH=FH

CF=CH=4

CH=FH=4

GH=FHFG=2

CG

CD=CG=BC=AB=

CB=CGCHBG

BH=GH=2

ADBC

∴∠AEB=CBH

又∵∠DAB=CHB=90°

∴△AEB∽△HBC

AE=

(3)連接BD,過點FFMADM,作∠AFN=FAD,交ADN

∵四邊形ABCD是正方形,

∴∠ABD=ADB=45°

∵∠DFB=DAB=90°

∴點DFAB四點共圓,

∴∠DBF=DAF,∠FDA=FBA

∵∠ABD=FBD+FBA=FDA+DAF=45°,∠ADF=2FAD

∴∠FDA=30°,∠FAD=15°

∵∠AFN=FAD=15°

∴∠FNM=30°

又∵FMAD

NM=FMFN=2MF=AN

AM=AN+MN=(2+)FM

tanFAD=

練習冊系列答案
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1)求證:FED∽△AEB

2)若AC2,連接CE,求AE的長;

3)在點E運動過程中,若BGCG,求tanCBF的值.

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1)求證:EFBF

2)求證:BC是⊙O的切線.

3)若AB4BC3,求DE的長,

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