Question

如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=x²+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，A點在原點的左側，B點的坐標為（3，0），與y軸交于C（0，-3）點，點P是直線BC下方的拋物線上一動點．
（1）求這個二次函數的解析式；
（2）當點P運動到什么位置時，四邊形ABPC的面積最大，并求出此時P點的坐標和四邊形ABPC的最大面積．

Answer 1

分析：（1）把B、C兩點的坐標代入二次函數y=x²+bx+c即可求出bc的值，故可得出二次函數的解析式；
（2）過點P作y軸的平行線與BC交于點Q，與OB交于點E，設P（x，x²-2x-3），易得，直線BC的解析式為y=x-3則Q點的坐標為（x，x-3），再根據S_{四邊形ABPC}=S_△ABC+S_△BPQ+S_△CPQ即可得出結論．

解答：解：（1）∵點B（3，0），C（0，-3）在二次函數y=x²+bx+c的圖象上，
∴將B、C兩點的坐標代入得

9+3b+c=0 c=-3

，
解得：

b=-2 c=-3

∴二次函數的表達式為：y=x²-2x-3；

（2）過點P作y軸的平行線與BC交于點Q，與OB交于點E，
設P（x，x²-2x-3），
設直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），
∵B（3，0），C（0，-3），
∴

3k+b=0 b=-3

，
解得

k=1 b=-3

，
∴直線BC的解析式為y=x-3．
∴Q點的坐標為（x，x-3），
∴S_{四邊形ABPC}=S_△ABC+S_△BPQ+S_△CPQ
=

1

2

AB•OC+

1

2

QP•OE+

1

2

QP•EB
=

1

2

×4×3+

1

2

（3x-x²）×3
=-

3

2

（x-

3

2

）²+

75

8

，
∴當x=

3

2

時，四邊形ABPC的面積最大．此時P點的坐標為（

3

2

，-

15

4

），四邊形ABPC的面積

75

8

．

點評：本題考查的是二次函數綜合題，涉及到用待定系數法求二次函數及一次函數的解析式、三角形的面積公式等知識，難度適中．