Question

已知拋物線y=x²-2x+a（a＜0）與y軸相交于點A，頂點為M．直線y=x-a分別與x軸，y軸相交于B，C兩點，并且與直線AM相交于點N．
（1）試用含a的代數式分別表示點M與N的坐標；
（2）如圖，將△NAC沿y軸翻折，若點N的對應點N′恰好落在拋物線上，AN′與x軸交于點D，連接CD，求a的值和四邊形ADCN的面積；
（3）在拋物線y=x²-2x+a（a＜0）上是否存在一點P，使得以P，A，C，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出P點的坐標；若不存在，試說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知了拋物線的解析式，不難用公式法求出M的坐標為（1，a-1）．由于拋物線過A點，因此A的坐標是（0，a）．根據A，M的坐標，用待定系數法可得出直線AM的解析式為y=-x+a．直線AM和y=x-a聯立方程組即可求出N的坐標為（a，-a）．
（2）根據折疊的性質不難得出N與N′正好關于y軸對稱，因此N′的坐標為（-a，-a）．由于N′在拋物線上，因此將N′的坐標代入拋物線的解析式中即可得出a的值．也就能確定N，C的坐標．求四邊形ADCN的面積，可分成△ANC和△ADC兩部分來求．已經求得了A，C，N的坐標，可求出AC的長以及N，D到y軸的距離．也就能求出△ANC和△ADC的面積，進而可求出四邊形ADCN的面積．
（3）本題可分兩種情況進行討論：
①當P在y軸左側時，如果使以P，N，A，C為頂點的四邊形為平行四邊形，那么P需要滿足的條件是PN平行且相等于AC，也就是說，如果N點向上平移AC個單位即-2a后得到的點就是P點．然后將此時P的坐標代入拋物線中，如果沒有解說明不存在這樣的點P，如果能求出a的值，那么即可求出此時P的坐標．
②當P在y軸右側時，P需要滿足的條件是PN與AC應互相平分（平行四邊形的對角線互相平分），那么NP必過原點，且關于原點對稱．那么可得出此時P的坐標，然后代入拋物線的解析式中按①的方法求解即可．
解答：解：（1）M（1，a-1），N（a，-a）；

（2）∵由題意得點N與點N′關于y軸對稱，
∴N′（-a，-a）．
將N′的坐標代入y=x²-2x+a得：
-a=a²+a+a，
∴a₁=0（不合題意，舍去），．
∴N（-3，），
∴點N到y軸的距離為3．
∵A（0，-），N'（3，），
∴直線AN'的解析式為，它與x軸的交點為D（）
∴點D到y軸的距離為．
∴S_{四邊形ADCN}=S_△ACN+S_△ACD=××3+××=；

（3）存在，理由如下：
當點P在y軸的左側時，若ACPN是平行四邊形，則PN平行且等于AC，
則把N向上平移-2a個單位得到P，坐標為（a，-a），代入拋物線的解析式，
得：-a=a²-a+a，
解得a₁=0（不舍題意，舍去），a₂=-，
則P（-，）；
當點P在y軸的右側時，若APCN是平行四邊形，則AC與PN互相平分，
則OA=OC，OP=ON．
則P與N關于原點對稱，
則P（-a，a）；
將P點坐標代入拋物線解析式得：a=a²+a+a，
解得a₁=0（不合題意，舍去），a₂=-，
則P（，-）．
故存在這樣的點P₁（-，）或P₂（，-），能使得以P，A，C，N為頂點的四邊形是平行四邊形．
點評：本題著重考查了待定系數法求函數解析式、圖形旋轉變換、平行四邊形的性質等重要知識點，綜合性強，能力要求較高．考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法．