Question

如圖，正方形ABCD中，P是直線CD上一動點（不與C、D重合），過BC邊的中點E作直線EF⊥BP于F，直線EF交直線AB于H，過A作AQ⊥EF于Q．如圖①，當點H在BA上時，易證：AQ+BF=2EF．
（1）當點H在BA的延長線上時，如圖②，猜想AQ、BF、EF之間有怎樣的數量關系，并說明理由；
（2）當點H在AB的延長線上時，如圖③，請直接寫出AQ、BF、EF之間的數量關系．

Answer 1

解：（1）BF-AQ=2EF．
過A點作AM∥HE交BC于M點，交BF于N點．
∵∠PBC+∠ABP=90°，∠BAM+∠ABP=90°，
∴∠PBC=∠BAM．
∵∠ANB=∠EFB=90°．
∴△BEF∽△ABN．
∴==2．
∵AQ=NF，
∴BN=BF-AQ．
∴BF-AQ=2EF．

（2）AQ-BF=2EF．
分析：（1）可過A點作AM∥HE交BC于M點，交BF于N點，很容易證明△ABN和△BEF相似，也很容易證AQ=NF，問題就可以證明．
（2）AQ、BF、EF滿足AQ-BF=2EF，也可通過作輔助線得到結論．
點評：本題考查正方形的性質，正方形的四邊相等，四個角都是直角，根據正方形的性質作出輔助線很容易證明兩個三角形相似，再根據相似三角形的對應邊成比例可求解．