Question

如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，以點A（0，-3）為圓心，5為半徑作圓A，交x軸于B、C兩點，交y軸于點D、E兩點．
（1）求點B、C、D的坐標；
（2）如果一個二次函數圖象經過B、C、D三點，求這個二次函數解析式．

Answer 1

分析：（1）由A的坐標得到OA的長，再由圓的半徑為5得到AD的長，由AD-OA求出OD的長，確定出D的坐標，連接AC，在直角三角形AOC中，由OA及AC的長，利用勾股定理求出OC的長，確定出C的坐標，再由AO垂直于BC，利用垂徑定理得到O為BC的中點，可得出OB=OC，由OC的長得出OB的長，即可確定出B的坐標；
（2）設所求二次函數的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），將B、C、D的坐標代入，得到關于a，b及c的方程組，求出方程組的解得到a，b及c的值，即可確定出二次函數的解析式．

解答：解：（1）∵點A的坐標為（0，-3），線段AD=5，
∴OD=AD-OA=5-3=2，即點D的坐標（0，2），
連接AC，在Rt△AOC中，∠AOC=90°，OA=3，AC=5，
∴根據勾股定理得：OC=

AC2-OA2

=4，
∴點C的坐標為（4，0），
∵AO⊥BC，
∴OB=OC=4，
∴點B坐標為（-4，0）；

（2）設所求二次函數的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），
由于該二次函數的圖象經過B（-4，0）、C（4，0）、D（0，2）三點，
則將三點坐標代入二次函數解析式得：

0=16a-4b+c 0=16a+4b+c 2=c

，
解得：

a=- 1 8 b=0 c=2

，
∴所求的二次函數的解析式為y=-

1

8

x²+2．

點評：此題考查了垂徑定理，坐標與圖形性質，勾股定理，以及待定系數法確定函數解析式，熟練掌握垂徑定理是解本題的關鍵．