Question

如果有理數a，b滿足|ab-2|+（1-b）²=0，試求

1

ab

+

1

(a+1)(b+1)

+

1

(a+2)(b+2)

+…+

1

(a+2007)(b+2007)

的值．

Answer 1

∵|ab-2|≥0，（1-b）²≥0，且|ab-2|+（1-b）²=0，
∴ab-2=0，且1-b=0，解得ab=2，且b=1，
把b=1代入ab=2中，解得a=2，
則

1

ab

+

1

(a+1)(b+1)

+

1

(a+2)(b+2)

+…+

1

(a+2007)(b+2007)

=

1

2

+

1

3×2

+

1

4×3

+…+

1

2009×2008

=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

2008

-

1

2009

）
=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2008

-

1

2009

=1-

1

2009

=

2008

2009

．