Question

如圖，拋物線y=ax²+bx過點(diǎn)A（4，0）正方形OABC的邊BC與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為D，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為3，點(diǎn)M在y軸的負(fù)半軸上，直線L過點(diǎn)D、M兩點(diǎn)且與拋物線的對(duì)稱軸將于點(diǎn)H，tan∠OMD=

1

3

．
（1）寫出D點(diǎn)坐標(biāo)（

 

），a=

 

，b=

 

，拋物線的對(duì)稱軸為

 

．
（2）求M點(diǎn)坐標(biāo)，H點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）如果點(diǎn)Q是拋物線對(duì)稱軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么是否存在點(diǎn)Q使得以點(diǎn)O、M、Q、H為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形的邊長(zhǎng)及點(diǎn)D的橫坐標(biāo)可求D點(diǎn)坐標(biāo)，把A、D兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax²+bx中，解方程組得a、b的值，拋物線過O、A兩點(diǎn)，對(duì)稱軸是線段OA的垂直平分線；
（2）由CD=3，tan∠OMD=

1

3

，在Rt△CDM中解直角三角形可求CM，用OM=CM-OC求M點(diǎn)的縱坐標(biāo)；用“兩點(diǎn)法”求直線MD的解析式，再求當(dāng)x=2時(shí)直線MD對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，即可求H點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）只要OM=HQ即可，有兩種情況，即Q點(diǎn)在H點(diǎn)上面或者下面，分別求解．

解答：解：（1）∵A（4，0），四邊形OABC為正方形，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為3，
∴D（3，4），
把A（4，0），D（3，4）代入y=ax²+bx中，
得

16a+4b=0 9a+3b=4

，
解得

a=- 4 3 b= 16 3

；
拋物線的對(duì)稱軸為線段OA的垂直平分線，即直線x=2．

（2）在Rt△CDM中，由CD=3，tan∠OMD=

CD

CM

=

1

3

，
得CM=3CD=9，OM=CM-OC=9-4=5，
∴M（0，-5），
設(shè)直線DM解析式為y=kx+b，將D、M兩點(diǎn)坐標(biāo)代入，
得

3k+b=4 b=-5

解得

k=3 b=-5

，
∴y=3x-5，H（2，1）；

（3）存在．
當(dāng)HQ=OM=5時(shí)，以點(diǎn)O、M、Q、H為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
∵HQ是拋物線的對(duì)稱軸，故H和Q兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為2，
若以點(diǎn)O、M、Q、H為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
則HQ=OM即可，
又知H點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），故對(duì)Q點(diǎn)進(jìn)行討論，
①當(dāng)Q點(diǎn)在H點(diǎn)上面時(shí)，若HQ=OM，可得Q點(diǎn)坐標(biāo)為（2，6），
②當(dāng)Q點(diǎn)在H點(diǎn)下面時(shí)，可得Q（2，-4）．

點(diǎn)評(píng)：主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)、直線解析式、拋物線解析式的求法，涉及解直角三角形的知識(shí)和平行四邊形的性質(zhì)的運(yùn)用．