Question

如圖，△ABO中，O是坐標原點，A(-

3

，0)，B(-

3

，1)．
（1）①以原點O為位似中心，將△ABO放大，使變換后得到的△CDO與△ABO的位似比為2：1，且D在第一象限內，則C點坐標為（

 

，

 

）；D點坐標為（

 

，

 

）；
②將△DOC沿OD折疊，點C落在第一象限的E處，畫出圖形，并求出點E的坐標；
（2）若拋物線y=ax²+bx（a≠0）過（1）中的E、C兩點，求拋物線的解析式；
（3）在（2）中的拋物線EC段（不包括C、E點）上是否存在一點M，使得四邊形MEOC面積最大？若存在，求出這個最大值，并求出此時M點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）①首先根據點D的位置確定△COD的位置，然后根據位似比作圖，即可得到點C、D的坐標；
②可過E作y軸的垂線，設垂足為F，由于△ODE是由△ODC翻折而得，故OE=OC=2

3

，∠EOD=∠COD=30°，根據這些條件，即可在Rt△OEF中，通過解直角三角形求出點E的坐標．
（2）在（1）題中，已經求得了E、C的坐標，利用待定系數法求解即可．
（3）四邊形MEOC中，△OEC的面積是定值，若四邊形的面積最大，則△EMC的面積最大；過M作MN∥y軸，交直線CE于N，設出點M的橫坐標，根據拋物線和直線CE的解析式即可得到MN的長，以MN為底，C、E橫坐標差的絕對值為高，即可得到△EMC的面積表達式，進而可得到關于四邊形MEOC的面積和M點橫坐標的函數關系式，根據函數的性質即可得到四邊形的面積最大值，及對應的M點坐標．

解答：解：（1）①由題意知：OC=2OA=2

3

，
CD=2AB=2；
故C（2

3

，0），D（2

3

，2）；
②如圖，過E作EF⊥y軸于F；
Rt△OCD中，OC=2

3

，CD=2，則有：
∠DOC=30°；
根據折疊的性質知：
OE=OC=2

3

，∠EOD=∠DOC=30°；
在Rt△OEF中，OE=2

3

，∠FOE=30°，
則：FE=

3

，OF=3，
故E（

3

，3）．

（2）由于拋物線經過E（

3

，3），C（2

3

，0），依題意有：

3a+ 3 b=3 12a+2 3 b=0

，
解得

a=-1 b=2 3

，
∴拋物線的解析式為：y=-x²+2

3

x；

（3）過M作MN∥y軸，交CE于N；
∵E（

3

，3），C（2

3

，0），
∴直線EC：y=-

3

x+6；
設M（x，-x²+2

3

x），則N（x，-

3

x+6），
∴MN=-x²+2

3

x-（-

3

x+6）=-x²+3

3

x-6；
∴四邊形EMCO的面積S=S_△EMC+S_△EOC
=

1

2

×（-x²+3

3

x-6）×

3

+

1

2

×2

3

×3
=-

3

2

x²+

9

2

x=-

3

2

（x-

3 3

2

）²+

27 3

8

；
∴當x=

3 3

2

，即M（

3 3

2

，

9

4

）時，四邊形OEMC的面積最大，且最大值為

27 3

8

．

點評：此題是二次函數的綜合題，涉及到圖形的位似變化、二次函數解析式的確定、函數圖象交點坐標及圖形面積的求法、二次函數最值的應用等重要知識點，綜合性強，難度較大．