Question

如圖，二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于A（-3，0）、B（1，0）兩點，與y軸相交點C（0，）．
（1）求該二次函數解析式；
（2）連接AC、BC，點M、N分別是線段AB、BC上的動點，且始終滿足BM=BN，連接MN．
①將△BMN沿MN翻折，B點能恰好落在AC邊上的P處嗎？若能，請判斷四邊形BMPN的形狀并求出PN的長；若不能，請說明理由．　
②將△BMN沿MN翻折，B點能恰好落在此拋物線上嗎？若能，請直接寫出此時B點關于MN的對稱點Q的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

解：（1）將A、B、C三點坐標分別代入y=ax²+bx+c（a≠0）中得：
，解得：
∴該二次函數解析式為：y=-x²-x+．

（2）①假設B點能恰好落在AC邊上的P處，由題知：OA=3，OB=1，OC=，
∴AC=2，BC=2，AB=4；
∴△ABC為直角三角形，且∠ACB=90°，∠A=30°，∠B=60°．
又由BM=BN=PN=PM知四邊形BMPN為菱形．
設PN=m，由PN∥AB可得：
=，即 =．
∴m=，即PN的長為．
②由①知：QN始終與x軸平行，若點Q在拋物線上，則點N也在拋物線上，且QN=CB=2；
已知C（0，），則 Q（-2，）；
當x=-2時，y=-x²-x+=-×4-×（-2）+=，
∴Q（-2，）正好在拋物線的圖象上；
故答案：能，此時Q的坐標為（-2，）．
分析：（1）將A、B、C三點的坐標直接代入二次函數的解析式中，由待定系數法即可得解．
（2）由A、B、C的坐標不難看出：OB=1、OC=、OA=3，那么△OAC、△OBC都是含30°角的特殊直角三角形，且∠OBC=60°，若BM=BN，那么△BMN是等邊三角形，而△PMN是由△BMN翻折所得，這兩個三角形全等，即∠PNM=∠BNM=∠BMN=60°，由此可判定PN∥BM；
①假設B點恰好落在AC邊上的點P處；
首先判斷四邊形PNBM的形狀：由于△BMN、△PNM都是等邊三角形，所以PN=PM=BM=BN=MN，所以這個四邊形是個菱形；
再求PN的長：PN∥AB，那么由平行線分線段成比例定理結合PN=BN，列出關于PN的方程，通過解方程則答案可求．
②上面已經判斷出QN∥x軸，若點Q在拋物線圖象上，那么點N也必須在拋物線的圖象上，此時N、C必須重合，首先將點C的坐標向左平移CB長個單位得到點Q的坐標，然后代入拋物線的解析式中進行驗證即可．
點評：此題是動態下的二次函數、軸對稱和全等三角形問題；前面的兩個小問較簡單，首先解方程組求二次函數解析式；再判斷四邊形PMBN為菱形，由PN∥AB可得線段成比例，運用方程思想求得PN的長為．最后一問是特殊位置，點N與點C重合時的情況．本題是一道綜合性較強的題目．