Question

26、復習“全等三角形”的知識時，老師布置了一道作業題：“如下圖①，已知在△ABC中，AB=AC，P是△ABC內部任意一點，將AP繞A順時針旋轉至AQ，使得∠QAP=∠BAC，連接BQ、CP，則BQ=CP．”
（1）小亮是個愛動腦筋的同學，他通過對圖①的分析，證明了△ABQ≌△ACP，從而證得BQ=CP．請你幫小亮完成證明．
（2）之后，小亮又將點P移到等腰三角形ABC之外，原題中的條件不變，“BQ=CP”仍然成立嗎？若成立，請你就圖②給出證明．若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析：此題的兩個小題思路是一致的；已知∠QAP=∠BAC，那么這兩個等角同時減去同一個角（2題是加上同一個角），來證得∠QAB=∠PAC；而根據旋轉的性質知：AP=AQ，且已知了AB=AC，即可由SAS證得△ABQ≌△ACP，進而得出BQ=CP的結論．

解答：證明：（1）∵∠QAP=∠BAC，
∴∠QAP-∠BAP=∠BAC-∠BAP，
即∠QAB=∠CAP；
在△BQA和△CPA中，
AQ=AP，∠QAB=∠CAP，AB=AC，
∴△BQA≌△CPA（SAS）；
∴BQ=CP．

（2）BQ=CP仍然成立，理由如下：
∵∠QAP=∠BAC，
∴∠QAP+∠PAB=∠BAC+∠PAB，
即∠QAB=∠PAC；
在△QAB和△PAC中，
AQ=AP，∠QAB=∠PAC，AB=AC，
∴△QAB≌△PAC（SAS），
∴BQ=CP．

點評：此題主要考查了等腰三角形的性質以及全等三角形的判定和性質；選擇并利用三角形全等是正確解答本題的關鍵．