Question

【題目】如圖，已知中，，，,點在邊上，以為圓心，為半徑的弧經過點是弧上一個動點.

求半徑的長；

如果點是弧的中點，聯結，求的正切值；

如果平分，延長交于點，求線段的長.

Answer 1

【答案】（1）9；（2）；（3）

【解析】

（1）根據勾股定理得到AB= =12，如圖1，過O作OH⊥AB于H，根據相似三角形的性質即可得到結論；
（2）如圖2，連接OP交AB于H，根據垂徑定理得到OP⊥AB，AH=BH=AB=6，得到PH=9-3=6，根據圓周角定理得到∠PCB=∠PBA，根據三角函數的定義即可得到結論；
（3）如圖3，過A作AE⊥BD于E，連接CP，根據角平分線的性質得到AE=AC=4，根據相似三角形的性質得到AD=，根據全等三角形的性質得到BE=BC=16，根據勾股定理和三角形的面積公式即可得到結論．

解：）∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=16，
∴AB==12，
如圖1，過O作OH⊥AB于H，

則BH=AB=6，
∵∠BHO=∠ACB=90°，∠B=∠B，
∴△BHO∽△BCA，
∴

∴

∴OB=9；

(2) 如圖2，連接OP交AB于H，連結，交于點，

是弧的中點，過圓心

, AH=BH=AB=6，

在Rt△BHO中，OH== =3，
∴PH=9-3=6，
∵點P是弧AB的中點，
∴弧AP=弧PB，
∴∠PCB=∠PBA，
∴∠PCB的正切值=∠PBA的正切值== ；

如圖3，過A作AE⊥BD于E，連接CP，

∵BA平分∠PBC，AC⊥BC，
∴AE=AC=4 ，
∵∠AED=∠ACB=90°，∠D=∠D，
∴△ADE∽△BDC，
∴,

設DE=x，

∴,

∴AD=

在Rt△ACB與Rt△AEB中，

∴Rt△ACB≌Rt△AEB（HL），
∴BE=BC=16，
∵CD2+BC2=BD2，

∴（4+）2+162=（16+x）2，

解得：x=

∴AD=，BD=16+=，

∴CD=

∵BC是⊙的直徑，
∴CP⊥BD，
∴CP== =

∴PD= =