Question

如圖，直線OC、BC的函數關系式分別為y=x和y=-2x+6，動點P（x，0）在OB上移動（0＜x＜3），過點P作直線l與x軸垂直．
（1）求點C的坐標；
（2）若A點坐標為（0，1），當點P運動到什么位置時，AP+CP最小；
（3）設△OBC中位于直線l左側部分的面積為S，求S與x之間的函數關系式．

Answer 1

分析：（1）將兩直線的y相等即可求出C的坐標；
（2）畫出A關于x軸的對稱點，然后連接C，與x軸交點就是要求的點P；
（3）分情況討論，當l在C左側和l在C右側兩種情況．

解答：解：（1）兩直線的解析式相等可得：x=-2x+6，
解得x=2，所以y=2，
所以C的坐標是（2，2）

（2）點A關于x軸的對稱點A₁為（0，-1），
直線A₁C的解析式為y=

3

2

x-1，
直線A₁C與x軸的交點坐標是（

2

3

，0），
所以當點P運動到（

2

3

，0）時，AP+CP最小；

（3）∵C（2，2），B（3，0），
∴OB=3，
∴S_△OCB=

1

2

×3×2=3，
當0＜x≤2時，即l在點C左側，
∵點P坐標為（x，0），
∴與直線y=x的交點D的坐標是（x，x），
∴S=

1

2

•x•x=

1

2

x²；
當2＜x＜3時，即l在點C右側，
∵P（x，0），
∴直線l與直線BC的交點D的坐標是（x，-2x+6），
∴S_△BDP=

1

2

×PB×PD=

1

2

•（3-x）•（-2x+6）=（3-x）²
所以S=S_△OCB-S_△BPD=3-（3-x）²（或S=-x²+6x-6）．

點評：本題主要考查對于一次函數圖象的應用，以及平面展開最短路徑的相關問題．