Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點C是BA延長線上一點，CD切⊙O于點D，CA=1，CD是⊙O半徑的

3

倍．
（1）求⊙O的半徑R；
（2）如圖1，弦DE∥CB，動點Q從A出發沿直徑AB向B運動的過程中，圖中陰影部分的面積是否發生變化，若發生變化，請你說明理由；若不發生變化，請你求出陰影部分的面積；
（3）如圖2，動點M從A出發，在⊙O上按逆時針方向向B運動．連接DM，過D作DM的垂線，與MB的延長線交于點N，當點M運動到什么位置時，DN取到最大值？求此時動點M所經過的弧長．

Answer 1

分析：（1）由題意，CD是⊙O半徑的

3

倍，CA=1，在直角△CDO中，根據勾股定理CD²+OD²=CO²，代入即可求出；
（2）由DE∥CB，可知，動點Q從A出發沿直徑AB向B運動的過程中，△DEQ的面積不變，則陰影部分的面積不變；當點Q運動到O點時，則∠DOE=60°，即可求出陰影部分的面積；
（3）如圖，連接AD、BD，當DM過圓心O時，DN取到最大值；易證△ADB∽△MDN，由已知，可求得，AD=1，BD=

3

，所以，DN=

3

DM，此時，∠AOM=120°，即可求得

AM

的長．

解答：解：（1）∵CD切⊙O于點D，
∴三角形CDO是直角三角形，
∵CA=1，CD是⊙O半徑的

3

倍，
∴在直角△CDO中，CD²+OD²=CO²，
則，(

3

R)2+R²=（1+R）²，
∴R=1；

（2）∵DE∥CB，
∴動點Q從A出發沿直徑AB向B運動的過程中，△DEQ的底DE不變，底DE上的高不變，
∴△DEQ的面積不變，則陰影部分的面積不變；
由OD=1，CO=2，
∴∠C=30°，則∠COD=60°，
∴∠ODE=60°，
∵∠ODE=∠OED，
∴∠OED=60°
∴∠DOE=60°，
∴S_陰影=

60°

360°

×πR²=

1

6

π；

（3）如圖，連接AD、BD，
∴∠DAB=∠DMN，又∠ADB=∠MDN=90°，
∴△ADB∽△MDN，
又AD=1，AB=2，
∴BD=

3

，
∴

DN

DM

=

BD

AD

=

3

，
∴DN=

3

DM，
∴當DM為最大值，即DM過圓心O時，DN取到最大值；
∵∠AOD=60°，
∴∠AOM=120°，
∴

AM

=

120°

360°

×2πR=

2

3

π．

點評：本題考查了切線的性質、扇形面積的計算、弧長的計算及直角三角形的知識，作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決是解答本題的關鍵．