Question

已知關于x的方程（4-k）（8-k）x²-（80-12k）x+32=0的解都是整數，求k的值．

Answer 1

分析：本題若從參數和方程的解來分析，用韋達定理和判別式法未嘗不可，但實際操作中很難做到．我們注意到方程的兩個解極易求出且形式簡單，故可用因式分解法求出其根再利用整除理論求解．

解答：解：當k=4時，原方程為-32x+32=0，所以x=1，符合題意；
當k=8時，原方程為16x+32=0，所以x=-2，符合題意；
當k≠4且k≠8時，原方程化為[（4-k）x-8][（8-k）x-4]=0，解得x₁=

8

4-k

，x₂=

4

8-k

．
∵k為整數，且x₁，x₂均為整數根，
∴4-k=±1，±2，4，±8，得k=3，5，2，6，0，-4，12
或8-k=±1，±2，-4，得k=7，9，6，10，12．
綜上所述，當k的值為4，6，8，12時，原方程的根都為整數．

點評：本題并未說此方程為一元二次方程，故須按一次方程、二次方程兩種情形討論，這樣確定的值才能全面而準確．本題是分類討論的典范．