Question

【題目】如圖，現有一張邊長為的正方形ABCD，點P 為正方形 AD 邊上的一點（不與點 A、點D 重合），將正方形紙片折疊，使點 B 落在 P 處，點 C 落在 G 處，PG 交DC 于H，折痕為 EF，連接 BP，BH.

（1）求證：；

（2）求證：；

（3）當點P在邊AD上移動時，△PDH的周長是否發生變化？不變化，求出周長，若變化，說明理由；

（4）設AP為x，四邊形EFGP的面積為S，求出S與x的函數關系式.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）周長固定，周長為.（4）

【解析】

（1）根據折疊的性質，對應邊相等，即能解決問題.（2）根據折疊的性質和問題（1）的結論即能解決問題.（3）通過證明過B點向PG作垂線，垂足為Q，通過分別證明 和，將△PDH的周長問題轉化成兩固定邊長之和，即能解決問題，

（1）證明：∵四邊形EPGF由四邊形EFCB折疊而來，EB與EP重疊

∴EP = EB

∴∠EPB = ∠EBP

（2）證明∵四邊形EPGF由四邊形EFCB折疊而來，EB與EP重疊，PG與BC重疊

∴∠EPG = ∠EBC

又∵∠EPB = ∠EBP

∴∠EPG - ∠EPB = ∠EBC - ∠EBP，即

∠BPH = ∠PBC

∵ AD∥BC,

∴∠APB = ∠PBC,

∴∠APB = ∠BPH

（3）解：△PDH的周長不發生變化.

如圖所示，過點B作BQ丄PG于點Q.

在△BPA和△BPQ中，

∵，

∴

∴

∴

，

∵

∴

∴QH=HC

∴△PDH的周長為：

為固定值，固定不變.

如圖，過點F作FM垂直AB于點M.

∵

∴

在△ABP和△MFE中

∵

∴

∴

在△AEP中，根據勾股定理，可得：

解得：

∴ ，即

即S關于x的關系式為：