Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，點E是對角線AC上一動點，連接BE，作CF⊥BE分別交BE于點G，AB于點F．

（1）如圖1，若CF恰好平分∠BCA，求證：△CGE≌△CGB；

（2）如圖2，若＝，取BC的中點H，連接AH交BE于點P，求證：

①AH＝3AP；

②BH2＝BFBA．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②見解析

【解析】

（1）根據ASA證明三角形全等即可．
（2）①延長BE交AD于T．利用平行線分線段成比例定理解決問題即可．
②證明△ABT∽△BCF，推出可得結論．

解：證明：（1）如圖1中，

∵CF平分∠ACB，

∴∠ECG＝∠BCG，

∵CF⊥BE，

∴∠CGB＝∠CGE＝90°，

∵CG＝CG，

∴△CGE≌△CGB（ASA）．

（2）①如圖2中，延長BE交AD于T．

∵，

∴，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AT∥BC，

∴，

∵BH＝BC，

∴，

∴，

∴AH＝3AP．

②∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠CBF＝∠BAT＝90°，

∵CF⊥BE，

∴∠ABT+∠TBC＝90°，∠TBC+∠BCF＝90°，

∴∠ABT＝∠BCF，

∴△ABT∽△BCF，

∴，

∵AT＝BC＝BH，BC＝2BH，

∴BFBA＝ATBC＝BH2BH＝BH2，

∴BH2＝BFBA．