Question

把一邊長(zhǎng)為40cm的正方形硬紙板，進(jìn)行適當(dāng)?shù)募舨茫�折成一個(gè)長(zhǎng)方形盒子（紙板的厚度忽略不計(jì)）。
（1）如圖1，若在正方形硬紙板的四角各剪一個(gè)同樣大小的正方形，將剩余部分折成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方形盒子。

①要使折成的長(zhǎng)方形盒子的底面積為484cm²，那么剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為多少？
②折成的長(zhǎng)方形盒子的側(cè)面積是否有最大值？如果有，求出這個(gè)最大值及此時(shí)剪掉的正方形的邊長(zhǎng)；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由。
（2）如圖2在正方形硬紙板上剪掉一些矩形（圖2中陰影為剪去部分），將剩余部分折成一個(gè)有蓋的長(zhǎng)方形盒子，若折成的一個(gè)長(zhǎng)方形盒子的表面積為550cm²，求此時(shí)長(zhǎng)方形盒子的長(zhǎng)、寬、高。

Answer 1

（1）①剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為9cm。②長(zhǎng)方形盒子的側(cè)面積最大為800cm²。（2）剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為15cm。此時(shí)長(zhǎng)方體盒子的長(zhǎng)為15cm，寬為10cm，高為5cm。

試題分析：解：（1）①設(shè)剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為xcm。

則，即，
解得（不合題意，舍去），
，∴剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為9cm。
②側(cè)面積有最大值。設(shè)剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為xcm，
盒子的側(cè)面積為ycm²，則y與x的函數(shù)關(guān)系為：
，
即 ，即，
∴x=10時(shí)，y_最大=800。
即當(dāng)剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為10cm時(shí)，長(zhǎng)方形盒子的側(cè)面積最大為800cm²。
（2）設(shè)剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為xcm。

解得：（不合題意，舍去），。
∴剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為15cm。此時(shí)長(zhǎng)方體盒子的長(zhǎng)為15cm，寬為10cm，高為5cm。
點(diǎn)評(píng)：本題難度中等，主要考查學(xué)生對(duì)一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)的掌握，為中考常考題型，要求學(xué)生牢固掌握，注意培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合圖像分析題意列方程。