Question

如圖，△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=12，點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)B作勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B后，立刻以原速度返回，到達(dá)C后再返回，如此循環(huán)；點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，向點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位長度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q停止運(yùn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)P也停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（t＞0），
（1）當(dāng)t=2時(shí)，BP=

 

，Q到BC的距離是

 

；
（2）在點(diǎn)P第一次向B運(yùn)動(dòng)的過程中，求四邊形ACPQ的面積與t的函數(shù)關(guān)系式（不寫t的取值范圍）；
（3）在點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的過程中，四邊形ACPQ能否成為直角梯形？若能，請(qǐng)直接寫出t的值；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知可得：BP=BC-PC=5-t，即可求得BP的長；過點(diǎn)Q作QD⊥BC于D，易證：△BDQ∽△BCA，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得DQ的長，即是Q到BC的距離；
（2）首先根據(jù)（1）中的知識(shí)，求得QD的長，又由S_{四邊形ACPQ}=S_△ABC-S_△BPQ，代入求值即可得到答案；
（3）由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得t的值．

解答：解：（1）由題意得：PC=t，BP=BC-PC=5-t，
∴當(dāng)t=2時(shí)，BP=3，
過點(diǎn)Q作QD⊥BC于D，
∵∠C=90°，
∴QD∥AC，
∴△BDQ∽△BCA，
∴

BQ

BA

=

DQ

AC

，
∵BC=5，AC=12，BQ=t=2，
∴AB=

BC2+AC2

=13，
∴

2

13

=

DQ

12

∴DQ=

24

13

；
∴Q到BC的距離是

24

13

；
故答案為：3，

24

13

．

（2）過Q作QD⊥BC于D，由△QBD∽△ABC，
可得：QD=

12

13

t，
∴S_{四邊形ACPQ}=S_△ABC-S_△BPQ=

1

2

×5×12-

1

2

（5-t）•

12

13

t=

6

13

t²-

30

13

t+30；

（3）能，
當(dāng)PQ∥AC時(shí)，四邊形ACPQ能成為直角梯形，
∴∠QPB=∠C=90°，
∵BQ=t，BP=5-t，PQ=

12

13

t，
∵BQ²=BP²+PQ²，
∴t=

65

18

，
∵點(diǎn)Q到達(dá)A需13s，
同理：當(dāng)P從B返回時(shí)，由B→C，
BQ=t，BP=t-5，PQ=

12

13

t，
即可求得t=

65

8

，
當(dāng)P從C第二次向B運(yùn)動(dòng)時(shí)，
BQ=t，BP=15-t，PQ=

12

13

t，
即可求得t=

65

6

，
∴t=

65

8

或

65

6

，
∴t的值為

65

18

或

65

8

或

65

6

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理以及三角形面積的求解等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．