Question

如圖，已知AB=AC，∠A=36°，AB的中垂線MD交AC于點D、交AB于點M．下列結論：
①BD是∠ABC的平分線；
②△BCD是等腰三角形；
③△ABC∽△BCD；
④△AMD≌△BCD．
正確的有（ ）個．

A．4
B．3
C．2
D．1

Answer 1

【答案】分析：首先由AB的中垂線MD交AC于點D、交AB于點M，求得△ABD是等腰三角形，即可求得∠ABD的度數，又由AB=AC，即可求得∠ABC與∠C的度數，則可求得所有角的度數，可得△BCD也是等腰三角形，則可證得△ABC∽△BCD．
解答：解：∵AB的中垂線MD交AC于點D、交AB于點M，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=36°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=72°，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=36°，
∴∠ABD=∠CBD，
∴BD是∠ABC的平分線；故①正確；
∴∠BDC=180°-∠DBC-∠C=72°，
∴∠BDC=∠C=72°，
∴△BCD是等腰三角形，故②正確；
∵∠C=∠C，∠BDC=∠ABC=72°，
∴△ABC∽△BCD，故③正確；
∵△AMD中，∠AMD=90°，△BCD中沒有直角，
∴△AMD與△BCD不全等，故④錯誤．
故選B．
點評：此題考查了線段垂直平分線的性質，等腰三角形的性質，以及相似三角形的判定與性質等知識．此題綜合性較強，但難度不大，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用．