Question

如圖，等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB=AC=2，直角頂點A在直線y=x上，其中A點的橫坐標為1，且兩條直角邊AB、AC分別平行于x軸、y軸，若雙曲線y=

k

x

（k≠0）與△ABC有交點，則k的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：設直線y=x與BC交于E點，分別過A、E兩點作x軸的垂線，垂足為D、F，則A（1，1），而AB=AC=2，則B（3，1），C（1，3），△ABC為等腰直角三角形，E為BC的中點，由中點坐標公式求E點坐標，當雙曲線與△ABC有唯一交點時，這個交點分別為A、E，由此可求k的取值范圍．

解答：解：如圖，設直線y=x與BC交于E點，分別過A、E兩點作x軸的垂線，垂足為D、F，EF交AB于M，
∵A點的橫坐標為1，A點在直線y=x上，
∴A（1，1），
又∵AB=AC=2，AB∥x軸，AC∥y軸，
∴B（3，1），C（1，3），且△ABC為等腰直角三角形，
BC的中點坐標為（

3+1

2

，

1+3

2

），即為（2，2），
∵點（2，2）滿足直線y=x，
∴點（2，2）即為E點坐標，E點坐標為（2，2），
∴k=OD×AD=1，或k=OF×EF=4，
當雙曲線與△ABC有唯一交點時，1≤k≤4．
故答案為：1≤k≤4．

點評：本題考查了反比例函數的綜合運用．注意直線，三角形的特殊性，根據雙曲線上點的坐標特點求解．