Question

如圖在直角坐標系中，A（-2，0），B（8，0），以AB為直徑的半圓P與y軸交于點M，以AB為一邊作正方形ABCD交y軸于E．
（1）寫出AB邊的長；
（2）連接CM，試說明直線CM是否與⊙P相切，說理理由；
（3）在x軸的正半軸上是否存在一點N，使得⊙N與⊙P、直線CP都相切？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）易得正方形的邊長等于點B的橫坐標減去點A的橫坐標．
（2）連接PC，PM，可利用勾股定理求得PC²長，CM²長，進而利用勾股定理可求得∠PMC=90°，那么是切線．
（3）注意分情況探討內切，外切，點的不同位置等多種情況．

解答：解：（1）8-（-2）=10；

（2）連接PC、PM，AM、BM，

則∠AMB=90°（直徑所對的圓周角等于90°），
故可得△AMO∽△MBO，
∵BC=10，PB=5，
∴CP²=BC²+PB²=125，
∵OA=2，OB=8，
∴OM²=OA•OB=16，
∴OM=4
∵EM=6，EC=8，
∴CM²=CE²+EM²=100；
∵CM²+MP²=PC²，
∴∠PMC=90°，
∴直線CM與OP相切；
（3）①當⊙N與直線CP相切，且與⊙P內切，在點P左邊時；
設⊙N的半徑為r₁依題意知：
（CP-BC）²+r₁²=（5-r₁）²；
又∵在Rt△PBC中，BC=10，PB=5，
∴PC=5

5

∴（5

5

-10）²=r₁²=（5-r₂）²解得r₁=10

5

-20，
∴ON₁=28-10

5

，
∴N（28-10

5

）；
②當⊙N與直線CP內切且與⊙P內切，但在點P右邊時；
根據對稱此時滿足條件的圓的半徑r₂=r₁=10

5

-20＞2
∴ON₂=10

5

-22，
∴N₂（10

5

-22，0）；
③當⊙N與直線CP相切且與⊙P外切時；
設⊙N的半徑為r₃，依題意得，
（10+5

5

）²+r₃²=（5+r₃）²
解得r₃=20+10

5

∴ON₃=28+10

5

，
∴N₃（28+10

5

，0）．

點評：連接圓心和切點是常用的輔助線方法；經過半徑的外端并且與半徑垂直的直線是圓的切線．