Question

隨著經濟發展，污染問題日益嚴重．某環保廠家看到這個商機，以200萬元購買了某項空氣凈化產品的生產技術后，再投入280萬元購買生產設備進行該產品的生產．已知生產這種產品的成本價為每件30元，經過市場調研發現，該產品的銷售單價定在40到50元之間較為合理，并且該產品的年銷售量y（萬件）與銷售單價x（元）之間的關系如圖所示．
（1）請根據圖象直接寫出銷售單價是45元時的年銷售量；
（2）求出年銷售量y（萬件）與銷售單價x（元）之間的函數關系式；
（3）求該公司第一年的年獲利W（萬元）與銷售單價x（元）之間的函數關系式；并說明投資的第一年，銷售單價定為多少時該廠家能獲得最大盈利？最大利潤是多少？

Answer 1

解：（1）根據圖象可得：銷售單價是45元時的年銷售量是30萬件．

（2）當40≤x≤45時，設函數關系式為y=kx+b，
分別代入（40，40）和（45，30），
得：，
解得：，
故函數關系式為：y=-2x+120；
當45＜x≤50時，設函數關系式為y=mx+n，
分別代入（45，30）和（50，25），
得：，
解得：，
故函數關系式為：y=-x+75；
所以年銷售量y（萬件）與銷售單價x（元）之間的函數關系式為：y=；

（3）該公司第一年的年獲利W（萬元）與銷售單價x（元）之間的函數關系式為：
W=（x-30）y-200-280=，
當40≤x≤45時，
W=-2x²+180x-4080=-2（x-45）²-30，
開口向下，有最大值，
當x=45時，W_max=-30，
故此時廠家不管如何定銷售單價，都不可能盈利，
當45＜x≤50時，
W=-x²+105x-2730=-（x-52.5）²+26，
開口向下，對稱軸為x=52.5，
故當x=50時，W有最大值W_max=20，
答：銷售單價定為50元時，廠家能獲得最大盈利，最大利潤是20萬元．
分析：（1）根據圖象，找出單價45元時對應的y值；
（2）分別在圖象上找出當40＜x＜45和45＜x＜50時點的坐標，設出函數關系式，代入點的坐標，求出函數關系式；
（3）根據年獲利=銷售量×（單價-成本價）-200-280列出函數關系式，求出最大盈利即可．
點評：本題考查了二次函數的應用，涉及到分段函數，難度較大，解答本題的關鍵是結合圖形求出x的不同范圍時的不同解析式，并熟練掌握運用配方法求二次函數的最大值．