Question

【題目】如圖1擺放矩形紙片ABCD與矩形紙片ECGF，使B、C、G三點在一條直線上，CE在邊CD上，連接AF，若M為AF的中點，連接DM、ME.

(1)試猜想DM與ME的關系，并證明你的結論．

(2)若將圖1中的紙片換成正方形紙片ABCD與正方形紙片ECGF，其他條件不變，則DM和ME的關系為______．

(3)如圖2擺放正方形紙片ABCD與正方形紙片ECGF，使點F在邊CD上，點M仍為AF的點，則DM和ME的關系為______，并說明理由。

Answer 1

【答案】DM=ME且DM⊥MEDM=ME且DM⊥ME

【解析】

（1）延長EM交AD于點H，利用△FME≌△AMH，得出HM=EM，再利用直角三角形中，斜邊的中線等于斜邊的一半證明；（2）延長EM交AD于點H，利用△FME≌△AMH，得出HM=EM，再利用直角三角形中，斜邊的中線等于斜邊的一半證明；（3）連接AE，AE和EC在同一條直線上，再利用直角三角形中，斜邊的中線等于斜邊的一半證明.

（1）DM=ME.

證明：如圖1，延長EM交AD于點H，

∵四邊形ABCD和CEFG是矩形，

∴AD∥EF，

∴∠EFM=∠HAM，

又∵∠FME=∠AMH，FM=AM，

在△FME和△AMH中， ，

∴△FME≌△AMH（ASA）,

∴HM=EM，

在RT△HDE中，HM=EM，

∴DM=HM=ME，

∴DM=ME．

（2）如圖1，延長EM交AD于點H，

∵四邊形ABCD和CEFG是正方形，

∴AD∥EF，

∴∠EFM=∠HAM，

又∵∠FME=∠AMH，FM=AM，

在△FME和△AMH中， ，

∴△FME≌△AMH（ASA）,

∴HM=EM，

在RT△HDE中，HM=EM，

∴DM=HM=ME，

∴DM=ME．

∵四邊形ABCD和CEFG是正方形，

∴AD=CD，CE=CF，

∵△FME≌△AMH，

∴EF=AH，

∴DH=DE，

∴△DEH是等腰直角三角形，

又∵MH=ME，

∴DM⊥ME．

故答案為：DM=ME且DM⊥ME．

（3）如圖2，連接AE，

∵四邊形ABCD和ECGF是正方形，

∴∠FCE=45°，∠FCA=45°，

∴AE和EC在同一條直線上，

在Rt△ADF中，AM=MF，

∴DM=AM=MF，∠MDA=∠MAD，

∴∠DMF=2∠DAM．

在Rt△AEF中，AM=MF，

∴AM=MF=ME，

∴DM=ME．

∴∠MAE=∠MEA，

∴∠FME=2∠MAE，

易證△ADM≌△AEM，則∠DAM=∠EAM，

∴∠DME=2∠DAE=90°，

即DM⊥ME．

綜上所述，DM=ME且DM⊥ME．