Question

在△ABC中，AB=BC，點O是△ABC的外心，連接AO并延長交BC于D，交△ABC的外接圓于E，過點B作⊙O的切線交AO的延長線于Q，設OQ=

9

2

，BQ=3

2

．
（1）求⊙O的半徑；
（2）若DE=

3

5

，求四邊形ACEB的周長．

Answer 1

分析：（1）連接OB，根據BQ是圓的切線，則△OBQ是直角三角形，根據勾股定理即可求得半徑OB的長；
（2）根據AB=BC，O是△ABC的外心，可以得到：BC⊥AC，且AE是直徑，BE=CE．易證△BOD∽△CED，根據相似三角形的對應邊的比相等，即可求得CE的長，在Rt△ACE中根據勾股定理求得AC的長，在Rt△ABE中求得BE的長，據此即可求得四邊形的周長．

解答：解：（1）連接OB．
∵BQ與⊙O相切，
∴∠OBQ=90°
∴OB=

OQ2-BQ2

=

( 9 2 )2-(3 2 )2

=

3

2

．
故半徑是：

3

2

；

（2）連接BO并延長交AC于點F，
∵AB=BC則

AB

=

BC

，
∴BF⊥AC，
又∵AE是⊙O的直徑，
∴∠ACE=∠ABE=90°，
∴BF∥CE，
∴△BOD∽△CED，
∴

BO

CE

=

OD

DE

，
∴CE=

DE•BO

OD

=

3 5 × 3 2

3 2 - 3 5

=1，
∴在Rt△ACE中，AE=3，CE=1，則AC=2

2

，
又O是AE的中點，∴OF=

1

2

CE=

1

2

，
則BF=2．
∴在Rt△ABE中，BE=

3

，
∴四邊形ACEB的周長是：1+2

2

+

6

+

3

．

點評：本題主要考查了切線的性質定理，以及勾股定理，并多次運用了勾股定理，其中根據AB=AC和O是△ABC的內心，得到BF⊥AC，且AE是直徑，是解決本題的關鍵．