Question

設拋物線y=ax²+bx-2與x軸交于兩個不同的點A（-1，0）、B（m，0），與y軸交于點C，且∠ACB=90度．
（1）求m的值和拋物線的解析式；
（2）已知點D（1，n）在拋物線上，過點A的直線y=x+1交拋物線于另一點E．若點P在x軸上，以點P、B、D為頂點的三角形與△AEB相似，求點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，△BDP的外接圓半徑等于______

Answer 1

【答案】分析：（1）根據拋物線的解析式可知C點坐標為（0，-2），即OC=2，由于∠ACB=90度，根據射影定理OC²=OA•AB，可求出AB的長，進而可求出B點的坐標，也就求出了m的值，然后將A、B的坐標代入拋物線中即可求出其解析式．
（2）可先根據拋物線的解析式和直線AE的解析式求出E點和D點的坐標，經過求解不難得出∠FDB=∠DBO=45°，因此本題要分兩種情況進行討論：①∠DPB=∠ABE；②∠PDB=∠ABE．可根據對應的相似三角形得出的成比例線段求出OP的長，進而可求出P點的坐標．
（3）以求△BP₁D的外接圓半徑為列進行說明：先作△BPD的外接圓，過P作直徑PM，連接DM，那么不難得出△PMD和△FBD相似，可得出，可先求出DP，DF，BD的長，而PM是圓的直徑，由此可求出△BPD的外接圓的半徑．
解答：解：（1）令x=0，得y=-2，
∴C（0，-2），
∵∠ACB=90°，CO⊥AB，
∴△AOC∽△COB，
∴OA•OB=OC²
∴OB=，
∴m=4，
將A（-1，0），B（4，0）代入y=ax²+bx-2，
得，
∴拋物線的解析式為y=x²-x-2．

（2）D（1，n）代入y=x²-x-2，得n=-3，
由，得，，
∴E（6，7），
過E作EH⊥x軸于H，則H（6，0）
∴AH=EH=7
∴∠EAH=45°
過D作DF⊥x軸于F，則F（1，0）
∴BF=DF=3
∴∠DBF=45°
∴∠EAH=∠DBF=45°
∴∠DBH=135°，
90°＜∠EBA＜135°
則點P只能在點B的左側，有以下兩種情況：
①若△DBP₁∽△EAB，則
∴BP₁===
∴OP₁=4-=，
∴P₁（，0）．
②若△DBP₂∽△BAE，則
∴BP₂===
∴OP₂=-4=
∴P₂（-，0）．
綜合①、②，得點P的坐標為：P₁（，0）或P₂（-，0）．

（3）或．
如圖所示：先作△BPD的外接圓，過P作直徑PM，連接DM，
∵∠PMD=∠PBD，∠DFP=∠PDM，
∴△PMD和△FBD相似，
∴，
∴PD===，
DF=3，
BD==3，
∴PM==，
∴△BPD的外接圓的半徑=；
同理可求出當P點在x軸的負半軸上時，△BPD的外接圓的半徑=．
點評：本題考查二次函數解析式的確定、函數圖象交點、三角形相似以及△外接圓的半徑的求法等知識及綜合應用知識、解決問題的能力．
（要注意區別三角形內切圓和外接圓半徑求法的不同：三角形內切圓半徑通常用公式法求解．而三角形外接圓半徑通常要通過構建相似三角形來求解）．